与えられた極限 $\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^x - (0.5)^{-x}}{(0.5)^x + (0.5)^{-x}}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^x - (0.5)^{-x}}{(0.5)^x + (0.5)^{-x}}$

を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を$(0.5)^{-x}$で割る。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^x - (0.5)^{-x}}{(0.5)^x + (0.5)^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{(0.5)^x}{(0.5)^{-x}} - \frac{(0.5)^{-x}}{(0.5)^{-x}}}{\frac{(0.5)^x}{(0.5)^{-x}} + \frac{(0.5)^{-x}}{(0.5)^{-x}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^{2x} - 1}{(0.5)^{2x} + 1}$

ここで、$x \to -\infty$のとき、$2x \to -\infty$である。また、$0.5 = \frac{1}{2}$であるから、$0 < 0.5 < 1$。

したがって、$x \to -\infty$のとき、$(0.5)^{2x} \to \infty$である。

式全体を $(0.5)^{-2x}$ で割ると

$\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^{2x} - 1}{(0.5)^{2x} + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{(0.5)^{2x}}{(0.5)^{2x}} - \frac{1}{(0.5)^{2x}}}{\frac{(0.5)^{2x}}{(0.5)^{2x}} + \frac{1}{(0.5)^{2x}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - (0.5)^{-2x}}{1 + (0.5)^{-2x}}$

$x \to -\infty$のとき、$-2x \to \infty$。また、$0.5 < 1$なので、$(0.5)^{-2x} \to \infty$となる。よって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 - (0.5)^{-2x}}{1 + (0.5)^{-2x}} = \frac{1 - \infty}{1 + \infty}$

この極限は、分子と分母を$(0.5)^{-2x}$で割ることで、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^{2x} - 1}{(0.5)^{2x} + 1}$

において、$t = -x$とおくと、$x \to -\infty$のとき、$t \to \infty$だから、

$\lim_{t \to \infty} \frac{(0.5)^{-2t} - 1}{(0.5)^{-2t} + 1} = \lim_{t \to \infty} \frac{(2)^{2t} - 1}{(2)^{2t} + 1} = \lim_{t \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{4^t}}{1 + \frac{1}{4^t}} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

または、元の式に戻って、

$0<0.5<1$なので、$x \to -\infty$のとき、$(0.5)^x \to \infty$。従って、$\lim_{x \to -\infty} (0.5)^{-x} = 0$となる。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^x - (0.5)^{-x}}{(0.5)^x + (0.5)^{-x}}$では、分母、分子に$(0.5)^x$を掛ける。

ここで$\lim_{x \to -\infty} (0.5)^x = \infty$と $\lim_{x \to -\infty} (0.5)^{-x} = 0$を使ってはいけない。

なぜならば、$\infty - 0$と$\infty + 0$という式が出てきて、計算できないから。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 - (0.5)^{-2x}}{1 + (0.5)^{-2x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - (2)^{2x}}{1 + (2)^{2x}} = \frac{1 - \infty}{1 + \infty} = -1$

3. 最終的な答え

-1