5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る。 (1) 作れる3桁の整数のうち、3の倍数は何個あるか。 (2) 作れる3桁の整数を小さい順に並べたとき、42番目の数は何か。

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る。

(1) 作れる3桁の整数のうち、3の倍数は何個あるか。

(2) 作れる3桁の整数を小さい順に並べたとき、42番目の数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数の個数

3の倍数となるのは、3桁の数の各位の数字の和が3の倍数になる時である。

選ぶ3つの数字の組み合わせを考える。

- {0, 1, 2}: 各位の和が3。作れる整数は4個 (102, 120, 201, 210)。

- {0, 2, 4}: 各位の和が6。作れる整数は4個 (204, 240, 402, 420)。

- {1, 2, 3}: 各位の和が6。作れる整数は6個。

- {2, 3, 4}: 各位の和が9。作れる整数は6個。

- {0, 3}: 各位の和が3の倍数になるように、もう一つ数字を選べない。

- {1, 4}: 各位の和が3の倍数になるように、もう一つ数字を選べない。

- {0, 1, 2}, {0, 2, 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}

合計で4 + 4 + 6 + 6 = 20個。

(2) 42番目の数

3桁の整数を小さい順に並べる。

100番台: 1□□。残りの数字は0, 2, 3, 4。

102, 103, 104, 120, 123, 124, 130, 132, 134, 140, 142, 143。全部で3 x 2 = 6個の組み合わせで、2! = 2通りずつあるから、6*2 = 12個

1□□となる数は$3 \times 2 = 6$ 個。

2□□となる数も同様に6個。

3□□となる数も同様に6個。

4□□となる数も同様に6個。

0□□となる数は存在しない。

100番台, 200番台, 300番台はそれぞれ$3 \times 2 = 6$個ずつある。

400番台も6個。

したがって、300番台までで、$6 \times 3 = 18$個。

合計$4 \times 6 = 24$ 個。

2□□となる数: $6 \times 3 = 18$

42番目の数は18 + 18 + 6 = 42より、

400番台の最後の数。

4□□:

401, 402, 403, 410, 412, 413, 420, 421, 423, 430, 431, 432

401, 402, 403, 410, 412, 413, 420, 421, 423, 430, 431, 432

401, 402, 403, 410, 412, 413, 420, 421, 423, 430, 431, 432

小さい順に並べると

102, 103, 104, 120, 123, 124, 130, 132, 134, 140, 142, 143

201, 203, 204, 210, 213, 214, 230, 231, 234, 240, 241, 243

301, 302, 304, 310, 312, 314, 320, 321, 324, 340, 341, 342

401, 402, 403, 410, 412, 413, 420, 421, 423, 430, 431, 432

42番目の数は432。

3. 最終的な答え

(1) 20個

(2) 432