与えられた多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての二次式と見て整理します。

$3x^2 + (-14y + 13)x + (15y^2 - 23y + 4)$

定数項を因数分解します。

$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$

次に、与式全体が因数分解できる形を考えます。

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると仮定して、係数を比較します。$x^2$ の係数が3なので、$a=3, d=1$ と仮定します。

$(3x + by + c)(x + ey + f)$

次に、$y^2$ の係数が15なので、$be = 15$、$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$より、$b = 3, e = 5$ または $b = 5, e = 3$ などが考えられます。

$x$ の係数が13、$y$ の係数が-23、定数項が4となるように、係数を調整します。

$(3x + by + c)(x + ey + f)$ を展開すると

$3x^2 + (3e + b)xy + bey^2 + (3f + c)x + (bf + ce)y + cf$

$3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4 = (3x + ay + b)(x + cy + d)$ と置いて，展開すると

$3x^2 + (3c+a)xy + ac y^2 + (3d+b)x + (ad+bc)y + bd$

係数を比較して $ac = 15$, $3c+a = -14$, $3d+b=13$, $ad+bc=-23$, $bd=4$

$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$　より、

$(3x+5y-1)(x+3y-4)$と仮定して展開して確認する。

$3x^2 + 9xy - 12x + 5xy + 15y^2 -20y - x - 3y + 4 = 3x^2 + 14xy + 15y^2 - 13x - 23y + 4$ と符号が合わない。

$(3x-5y+1)(x-3y+4)$と仮定して展開して確認する。

$3x^2 - 9xy + 12x - 5xy + 15y^2 - 20y + x - 3y + 4 = 3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$

3. 最終的な答え

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$