定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 2x + 3$ の区間 $a \le x \le a+2$ における最小値と最大値を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 2x + 3$ の区間 $a \le x \le a+2$ における最小値と最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2$

したがって、この関数の頂点は $(1, 2)$ です。

(1) 最小値を求める

区間 $a \le x \le a+2$ における最小値を考えるために、以下の3つの場合を考えます。

(i) $a + 2 < 1$ つまり、$a < -1$ のとき

このとき、区間 $a \le x \le a+2$ で関数は単調減少なので、$x = a+2$ で最小値をとります。

最小値は $y = (a+2-1)^2 + 2 = (a+1)^2 + 2 = a^2 + 2a + 1 + 2 = a^2 + 2a + 3$

(ii) $a \le 1 \le a+2$ つまり、$-1 \le a \le 1$ のとき

このとき、区間 $a \le x \le a+2$ に頂点 $(1, 2)$ が含まれるので、最小値は $y = 2$ となります。

(iii) $a > 1$ のとき

このとき、区間 $a \le x \le a+2$ で関数は単調増加なので、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = (a-1)^2 + 2 = a^2 - 2a + 1 + 2 = a^2 - 2a + 3$

(2) 最大値を求める

区間 $a \le x \le a+2$ における最大値を考えるために、軸 $x=1$ から $a$ と $a+2$ のどちらが遠いかによって場合分けをします。

$a$ と $a+2$ の中点は $a+1$ です。

(i) $a+1 \le 1$ つまり $a \le 0$ のとき

このとき $x=a$ で最大値をとります。

最大値は $y = (a-1)^2 + 2 = a^2 - 2a + 3$

(ii) $a+1 \ge 1$ つまり $a \ge 0$ のとき

このとき $x=a+2$ で最大値をとります。

最大値は $y = (a+2-1)^2 + 2 = (a+1)^2 + 2 = a^2 + 2a + 3$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < -1$ のとき、$a^2 + 2a + 3$

$-1 \le a \le 1$ のとき、$2$

$a > 1$ のとき、$a^2 - 2a + 3$

(2) 最大値

$a \le 0$ のとき、$a^2 - 2a + 3$

$a \ge 0$ のとき、$a^2 + 2a + 3$