階差数列を利用して、与えられた数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。 (1) 数列: 1, 5, 13, 25, 41, ... (2) 数列: 5, 7, 11, 19, 35, ...

1. 問題の内容

階差数列を利用して、与えられた数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

(1) 数列: 1, 5, 13, 25, 41, ...

(2) 数列: 5, 7, 11, 19, 35, ...

2. 解き方の手順

(1) の数列について

階差数列を求める:

5 - 1 = 4

13 - 5 = 8

25 - 13 = 12

41 - 25 = 16

階差数列は 4, 8, 12, 16, ... となり、これは初項4、公差4の等差数列である。

階差数列の一般項を $b_n$ とすると、$b_n = 4n$ となる。

元の数列の一般項 $a_n$ は、 $n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ で表される。

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4k = 1 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + 2n(n-1) = 1 + 2n^2 - 2n = 2n^2 - 2n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 - 2 + 1 = 1$ となり、これは与えられた数列の最初の項と一致する。

したがって、一般項 $a_n$ は $a_n = 2n^2 - 2n + 1$ である。

(2) の数列について

階差数列を求める:

7 - 5 = 2

11 - 7 = 4

19 - 11 = 8

35 - 19 = 16

階差数列は 2, 4, 8, 16, ... となり、これは初項2、公比2の等比数列である。

階差数列の一般項を $b_n$ とすると、$b_n = 2^n$ となる。

元の数列の一般項 $a_n$ は、$n \geq 2$ のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ で表される。

$a_n = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 5 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 5 + 2(2^{n-1} - 1) = 5 + 2^n - 2 = 2^n + 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 + 3 = 2 + 3 = 5$ となり、これは与えられた数列の最初の項と一致する。

したがって、一般項 $a_n$ は $a_n = 2^n + 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n^2 - 2n + 1$

(2) $a_n = 2^n + 3$