$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - x)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - x)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + 3x} - x$ に共役な式 $\sqrt{x^2 + 3x} + x$ を掛けて割ることで、式を変形します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 3x} - x)(\sqrt{x^2 + 3x} + x)}{\sqrt{x^2 + 3x} + x}$

分子を展開すると、

$(\sqrt{x^2 + 3x} - x)(\sqrt{x^2 + 3x} + x) = (x^2 + 3x) - x^2 = 3x$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x}$

分母と分子を $x$ で割ります。$\sqrt{x^2} = |x|$ であり、$x \to \infty$ なので、$x > 0$ と考えてよく、$|x| = x$ であることに注意すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x} \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$