与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)^2$ と $(x-1)^2$ をそれぞれ展開します。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$

これは $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形を利用できます。

$A = x^2 + 1$、 $B = 2x$ と置くと、

$(x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x) = (x^2 + 1)^2 - (2x)^2$

$(x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

$(2x)^2 = 4x^2$

したがって、

$(x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^2 + 1$