ビルの屋上から小球Aを初速度 $v_0$ で鉛直上向きに投げ上げる。小球Aは時刻$T$に最高点に達し、時刻 $3T$ に地面に到達する。重力加速度の大きさを $g$ とする。以下の問いに答える。 * 問1: $v_0$ を $g$、$T$ を用いて表す。 * 問2: 小球Aが投げ上げられた後、ビルの屋上と同じ高さの位置を通過する時刻を $T$ を用いて表す。 * 問3: 地面からビルの屋上までの高さを求めたい。 * (1) 時刻 $t=0$ に小球Aが投げ上げられてから時刻 $t=3T$ に地面に到達するまでの小球Aの $v-t$ グラフを描く。ただし、鉛直上向きを正とする。 * (2) (1) で描いた $v-t$ グラフを用いて、地面からビルの屋上までの高さを $v_0$、$T$ を用いて表す。 * 問4: 時刻 $t=0$ に小球Aを初速度 $v_0$ で鉛直に投げ上げた後、時刻 $t=T_0$ にビルの屋上から小球Bを初速度0で落下（自由落下）させた。その後、A, Bは同時に地面に到達した。 $T_0$ を $T$ を用いて表す。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、設問に答えます。

1. 問題の内容

ビルの屋上から小球Aを初速度 $v_0$ で鉛直上向きに投げ上げる。小球Aは時刻$T$に最高点に達し、時刻 $3T$ に地面に到達する。重力加速度の大きさを $g$ とする。以下の問いに答える。

* 問1: $v_0$ を $g$、$T$ を用いて表す。

* 問2: 小球Aが投げ上げられた後、ビルの屋上と同じ高さの位置を通過する時刻を $T$ を用いて表す。

* 問3: 地面からビルの屋上までの高さを求めたい。

* (1) 時刻 $t=0$ に小球Aが投げ上げられてから時刻 $t=3T$ に地面に到達するまでの小球Aの $v-t$ グラフを描く。ただし、鉛直上向きを正とする。

* (2) (1) で描いた $v-t$ グラフを用いて、地面からビルの屋上までの高さを $v_0$、$T$ を用いて表す。

* 問4: 時刻 $t=0$ に小球Aを初速度 $v_0$ で鉛直に投げ上げた後、時刻 $t=T_0$ にビルの屋上から小球Bを初速度0で落下（自由落下）させた。その後、A, Bは同時に地面に到達した。 $T_0$ を $T$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

* 問1:

* 小球Aが最高点に達するまでの時間 $T$ は、初速度 $v_0$ で投げ上げられた物体の速度が0になるまでの時間である。

* 鉛直投げ上げの公式 $v = v_0 - gt$ より、$0 = v_0 - gT$ が成り立つ。

* この式から $v_0$ を求める。

* 問2:

* 小球Aがビルの屋上と同じ高さに戻ってくるのは、投げ上げられてから最高点に達するまでの時間の2倍である。

* 問3:

* (1) $v-t$グラフは、縦軸に速度 $v$、横軸に時刻 $t$ をとったグラフである。初期速度は$v_0$、重力加速度は $g$ であるから、グラフは傾き $-g$ の直線となる。

* $t=0$のとき、$v = v_0 = gT$

* $t=T$のとき、$v = 0$

* $t=3T$のとき、$v = v_0 - g(3T) = gT - 3gT = -2gT$

* (2) 地面からビルの屋上までの高さは、$v-t$グラフと$t$軸で囲まれた部分の面積の絶対値で表される。 $v-t$グラフとt軸の間の面積は、以下の通り計算できる。

* $t=0$から$t=3T$の間の台形の面積を計算する。台形の面積は、(上底＋下底)×高さ÷2 で求まる。

* 上底は$v_0 = gT$、下底は$|-2gT| = 2gT$、高さは$3T$である。

* 面積は、$(gT + 2gT) \times 3T \div 2 = (3gT)(3T) / 2 = \frac{9}{2}gT^2$ となる。

* 問4:

* 小球Aがビルの屋上から地面に到達するまでにかかる時間は $3T$ である。

* 小球Bがビルの屋上から地面に到達するまでにかかる時間は $3T - T_0$ である。

* ビルの屋上から地面までの高さを $h$ とすると、自由落下の公式 $h = \frac{1}{2}g(3T-T_0)^2$ が成り立つ。

* 問3(2)より、$h = \frac{9}{2}gT^2$である。したがって、$\frac{9}{2}gT^2 = \frac{1}{2}g(3T-T_0)^2$ となる。

* この式を解いて $T_0$ を求める。

* $9T^2 = (3T-T_0)^2$

* $3T = 3T - T_0$ または $-3T = 3T - T_0$

* $T_0 = 0$ または $T_0 = 6T$。$T_0>0$なので、$T_0 = 6T$。

3. 最終的な答え

* 問1: $v_0 = gT$

* 問2: $2T$

* 問3: (1) $v-t$グラフは上に示したとおり (2) $\frac{9}{2}gT^2$

* 問4: $6T$