パウンドケーキとクッキーを文化祭で販売する。パウンドケーキ1本には小麦粉100gと卵2個が必要で、クッキー1袋には小麦粉300gと卵1個が必要。小麦粉は9kg、卵は80個しかなく、パウンドケーキの売上は1本1000円、クッキーの売上は1袋2000円とする。売上を最大にするには、パウンドケーキとクッキーをそれぞれ何個作ればよいか。

1. 問題の内容

パウンドケーキとクッキーを文化祭で販売する。パウンドケーキ1本には小麦粉100gと卵2個が必要で、クッキー1袋には小麦粉300gと卵1個が必要。小麦粉は9kg、卵は80個しかなく、パウンドケーキの売上は1本1000円、クッキーの売上は1袋2000円とする。売上を最大にするには、パウンドケーキとクッキーをそれぞれ何個作ればよいか。

2. 解き方の手順

まず、パウンドケーキをx本、クッキーをy袋作るとする。

- 条件1（小麦粉）：$100x + 300y \le 9000$。これを簡略化して$x + 3y \le 90$。したがって、アには $x + 3y$ が入る。

- 条件2（卵）：$2x + y \le 80$。したがって、イには $2x + y$ が入る。

売り上げ総額k（千円）は、$k = 1 \cdot x + 2 \cdot y = x + 2y$で表せる。

これをyについて解くと、$y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$。つまり、ウには $y$ が入る。

目的関数 $k = x + 2y$ を最大化するには、不等式 $x + 3y \le 90$、$2x + y \le 80$、$x \ge 0$、$y \ge 0$ を満たす領域の頂点で $k$ の値が最大になる点を探す。

領域の頂点は、

(0, 0), (40, 0), (0, 30), および、$x + 3y = 90$と$2x + y = 80$の交点。

$x + 3y = 90$より$x = 90 - 3y$

これを$2x + y = 80$に代入して、$2(90 - 3y) + y = 80$

$180 - 6y + y = 80$

$100 = 5y$

$y = 20$

$x = 90 - 3(20) = 90 - 60 = 30$

交点は (30, 20)。

各頂点でのkの値を計算する：

(0, 0): $k = 0 + 2(0) = 0$

(40, 0): $k = 40 + 2(0) = 40$

(0, 30): $k = 0 + 2(30) = 60$

(30, 20): $k = 30 + 2(20) = 30 + 40 = 70$

kが最大になるのは(30, 20)のとき。つまりエには(30,20)が入る。

パウンドケーキを30本、クッキーを20袋作れば売り上げが最大になり、売り上げは70千円 = 7万円となる。

3. 最終的な答え

ア: $x + 3y$

イ: $2x + y$

ウ: $y$

エ: (30, 20)

オ: 30

カ: 20

キ: 70