$xy$平面において、連立不等式 $\begin{cases} x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1 \\ \frac{x^2}{3} + y^2 \le 1 \end{cases}$ の表す領域の面積を求める問題です。

幾何学楕円面積積分連立不等式
2025/3/25

1. 問題の内容

xyxy平面において、連立不等式
$\begin{cases}
x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1 \\
\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1
\end{cases}$
の表す領域の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの不等式の表す領域がそれぞれ楕円の内部であることを確認します。
1つ目の不等式は、x2+y23=1x^2 + \frac{y^2}{3} = 1 で表される楕円の内部です。この楕円は、xx軸方向に半径1、yy軸方向に半径3\sqrt{3}を持ちます。
2つ目の不等式は、x23+y2=1\frac{x^2}{3} + y^2 = 1 で表される楕円の内部です。この楕円は、xx軸方向に半径3\sqrt{3}yy軸方向に半径1を持ちます。
2つの楕円の交点を求めます。
x2+y23=1x^2 + \frac{y^2}{3} = 1x23+y2=1\frac{x^2}{3} + y^2 = 1 を連立して解きます。
1つ目の式からy2=3(1x2)y^2 = 3(1-x^2)
これを2つ目の式に代入すると、x23+3(1x2)=1\frac{x^2}{3} + 3(1-x^2) = 1
x2+9(1x2)=3x^2 + 9(1-x^2) = 3
x2+99x2=3x^2 + 9 - 9x^2 = 3
8x2=6-8x^2 = -6
x2=34x^2 = \frac{3}{4}
x=±32x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
y2=3(134)=34y^2 = 3(1 - \frac{3}{4}) = \frac{3}{4}
y=±32y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
したがって、交点は(±32,±32)(\pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2})の4点です。
領域の面積を計算するために、第一象限における領域の面積を計算し、それを4倍することを考えます。
第一象限における領域は、x23+y2=1\frac{x^2}{3} + y^2 = 1yyについて解いたものと、x2+y23=1x^2 + \frac{y^2}{3} = 1yyについて解いたもので囲まれた領域です。
y=1x23y = \sqrt{1-\frac{x^2}{3}}y=3(1x2)y = \sqrt{3(1-x^2)}
交点x=32x=\frac{\sqrt{3}}{2}より、0x320 \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2}ではy=3(1x2)y = \sqrt{3(1-x^2)}が上、32x1 \frac{\sqrt{3}}{2} \le x \le 1ではy=1x23y = \sqrt{1-\frac{x^2}{3}}が上となります。
対称性より、第一象限の面積は
032(3(1x2)1x23)dx \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\sqrt{3(1-x^2)} - \sqrt{1 - \frac{x^2}{3}}) dx
さらに、対称性を利用して、求める面積は2つの楕円の面積の和から、重複している部分の面積を引くことで計算できます。
楕円 x2+y231x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1 の面積は π13=3π\pi \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}\pi
楕円 x23+y21\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1 の面積は π31=3π\pi \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}\pi
それぞれの楕円の面積は等しく、3π\sqrt{3}\piである。
2つの楕円の面積の和は23π2\sqrt{3}\pi
求める面積をSSとすると、S=3πS = 3\pi

3. 最終的な答え

3π3\pi

「幾何学」の関連問題

対角線の長さが6cmの正方形を、頂点Oを中心に30度回転させたとき、影の部分の面積を求める問題です。

正方形回転面積三平方の定理扇形図形
2025/8/7

図において、$\triangle ABC$は$AB=AC$の二等辺三角形で、$\angle BAC = 60^\circ$である。また、点Oは円の中心であり、$OD=5$である。このとき、$x$の値を...

三角形二等辺三角形正三角形三平方の定理三角比
2025/8/7

図において、$x$の値を求める問題です。図には、円の中心Oから弦に下ろした垂線が4、弦の長さが20、円の半径がxと示されています。

三平方の定理半径図形
2025/8/7

長方形ABCDがあり、半円Oは辺ABとADに接している。円Pは辺ADとCDに接しており、半円Oと円Pは接している。AB=8cm、AD=18cmのとき、円Pの半径を求める。

長方形三平方の定理接する半径
2025/8/7

長方形ABCDの中に、点Oを中心とする半円と、点Pを中心とする円が内接している。AB = 8cm, AD = 18cmであるとき、点Pを中心とする円の半径を求めよ。

長方形内接ピタゴラスの定理相似
2025/8/7

放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ 上に点A, B, Cがある。Aのx座標は-4, Bのx座標は-2, Cのx座標は8である。点Bを通り、三角形ABCの面積を二等分する直線を求めよ。

放物線三角形面積直線座標連立方程式
2025/8/7

次の3つの関数について、グラフを記入することを求められています。 (1) $y = x - 3$ (2) $y = -2x + 1$ (3) $y = -2x^2$

グラフ関数直線放物線座標
2025/8/7

半径が3cmの円Oと半径が4cmの円O'がある。直線lは円Oと点Aで、円O'と点Bで接している。ABの長さを求める。

接線三平方の定理相似図形
2025/8/7

問題は、与えられた図において、直線ABの式と影の部分の三角形の面積を求めることです。今回は問題番号(1)のみを解きます。放物線 $y=x^2$ 上の2点A(-2, 4), B(3, 9)を通る直線AB...

直線の式三角形の面積座標平面図形
2025/8/7

与えられた三角形の3辺の長さがそれぞれ20, 13, 21である。この三角形の面積を求める。

三角形面積ヘロンの公式
2025/8/7