まず、2つの不等式の表す領域がそれぞれ楕円の内部であることを確認します。
1つ目の不等式は、x2+3y2=1 で表される楕円の内部です。この楕円は、x軸方向に半径1、y軸方向に半径3を持ちます。 2つ目の不等式は、3x2+y2=1 で表される楕円の内部です。この楕円は、x軸方向に半径3、y軸方向に半径1を持ちます。 2つの楕円の交点を求めます。
x2+3y2=1 と 3x2+y2=1 を連立して解きます。 1つ目の式からy2=3(1−x2)。 これを2つ目の式に代入すると、3x2+3(1−x2)=1 x2+9(1−x2)=3 x2+9−9x2=3 x2=43 x=±23 y2=3(1−43)=43 y=±23 したがって、交点は(±23,±23)の4点です。 領域の面積を計算するために、第一象限における領域の面積を計算し、それを4倍することを考えます。
第一象限における領域は、3x2+y2=1 のyについて解いたものと、x2+3y2=1のyについて解いたもので囲まれた領域です。 y=1−3x2とy=3(1−x2)。 交点x=23より、0≤x≤23ではy=3(1−x2)が上、23≤x≤1ではy=1−3x2が上となります。 対称性より、第一象限の面積は
∫023(3(1−x2)−1−3x2)dx さらに、対称性を利用して、求める面積は2つの楕円の面積の和から、重複している部分の面積を引くことで計算できます。
楕円 x2+3y2≤1 の面積は π⋅1⋅3=3π 楕円 3x2+y2≤1 の面積は π⋅3⋅1=3π それぞれの楕円の面積は等しく、3πである。 2つの楕円の面積の和は23π 求める面積をSとすると、S=3π