与えられた4つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx$ (2) $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$ (3) $\int_{2}^{3} \frac{2}{x^2 - 1} \, dx$ (4) $\int_{0}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx$

(2) $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$

(3) $\int_{2}^{3} \frac{2}{x^2 - 1} \, dx$

(4) $\int_{0}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx$ を計算します。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ より、

$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx$

$u = \cos x$ とおくと、$du = -\sin x \, dx$ なので、

$\int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln |u| + C = -\ln |\cos x| + C$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx = \left[ -\ln |\cos x| \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\ln \left| \cos \frac{\pi}{3} \right| - (-\ln |\cos 0|) = -\ln \left| \frac{1}{2} \right| - (-\ln |1|) = -\ln \frac{1}{2} + 0 = \ln 2$

(2) $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$ を計算します。

部分積分法を用いて計算します。$u=x$, $dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となるので、

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

したがって、

$\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_{0}^{\pi} = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (-0 \cos 0 + \sin 0) = (-\pi (-1) + 0) - (0 + 0) = \pi$

(3) $\int_{2}^{3} \frac{2}{x^2 - 1} \, dx$ を計算します。

$\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ と部分分数分解します。

$2 = A(x+1) + B(x-1)$

$x=1$ のとき $2 = 2A$ より $A=1$

$x=-1$ のとき $2 = -2B$ より $B=-1$

よって、$\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$

$\int \frac{2}{x^2 - 1} \, dx = \int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) \, dx = \ln |x-1| - \ln |x+1| + C = \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

したがって、

$\int_{2}^{3} \frac{2}{x^2 - 1} \, dx = \left[ \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right]_{2}^{3} = \ln \left| \frac{3-1}{3+1} \right| - \ln \left| \frac{2-1}{2+1} \right| = \ln \frac{2}{4} - \ln \frac{1}{3} = \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{3} = \ln \frac{1/2}{1/3} = \ln \frac{3}{2}$

(4) $\int_{0}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} \, dx$ を計算します。

$\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ を利用します。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{x^2 + 2^2} \, dx = \left[ \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \arctan \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \arctan \frac{0}{2} = \frac{1}{2} \arctan 1 - \frac{1}{2} \arctan 0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\pi}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\ln 2$

(2) $\pi$

(3) $\ln \frac{3}{2}$

(4) $\frac{\pi}{8}$