$\triangle ABC$ において、辺 $BC, CA, AB$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ がある。$Q$ は辺 $CA$ の中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$、$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$ を満たしている。$AP$ と $BQ$ の交点を $D$、$BQ$ と $CR$ の交点を $E$、$CR$ と $AP$ の交点を $F$ とする。このとき、$\overrightarrow{AR}$、$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BQ}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{DE}$ を $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ で表し、$\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$ を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC, CA, AB$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ がある。$Q$ は辺 $CA$ の中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$、$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$ を満たしている。$AP$ と $BQ$ の交点を $D$、$BQ$ と $CR$ の交点を $E$、$CR$ と $AP$ の交点を $F$ とする。このとき、$\overrightarrow{AR}$、$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BQ}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{DE}$ を $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ で表し、$\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$ より、$\frac{1}{2} AR \cdot AQ \sin A = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A$。

$AQ = \frac{1}{2} AC$ なので、$AR \cdot \frac{1}{2} AC = \frac{1}{6} AB \cdot AC$。

よって、$AR = \frac{1}{3} AB$。

したがって、$\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$

(2)

$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$ より、$\frac{1}{2} BP \cdot BQ \sin B = \frac{1}{5} \frac{1}{2} BA \cdot BC \sin B$。

$BP \cdot BQ = \frac{1}{5} BA \cdot BC$。

点 $P$ は辺 $BC$ 上にあるので、$\overrightarrow{AP} = (1-t) \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}$ とおける。

$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$ から $\frac{CP}{BC} = \frac{\triangle APQ}{\triangle ABQ} = \frac{\frac{1}{2} AP \cdot AQ \sin A}{\frac{1}{2} AB \cdot AQ \sin A} = \frac{AP}{AB}$

$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$ であるから $\frac{1/2 * BP * h_Q}{1/2*BC *h_A}=\frac{BP}{BC} = \frac{1}{5}$.よって $BP/BC = 1/5$. よって $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AP} = \frac{4}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BQ} = (1-s) \overrightarrow{BA} + s \overrightarrow{BC}$ とおける。$Q$ は $AC$ の中点なので $\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$。

$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$

よって $\overrightarrow{BQ} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

(3)

メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BD}{DQ} \cdot \frac{QA}{AC} = 1$

$\frac{1/3}{2/3} \cdot \frac{BD}{DQ} \cdot \frac{1/2}{1} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BD}{DQ} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BD}{DQ} = 4$

よって $\overrightarrow{AD} = \frac{4\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AB}}{5} = \frac{4}{5}(\frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AC}) + \frac{1}{5}\overrightarrow{AB} = \frac{16}{25}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{25}\overrightarrow{AC} + \frac{5}{25}\overrightarrow{AB} = \frac{21}{25}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{25}\overrightarrow{AC}$

よって $\overrightarrow{AD} = \frac{21}{25}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{25}\overrightarrow{AC}$.

$E$ は $BQ$ と $CR$ の交点である。まず $\overrightarrow{CR}$ を求めたい。

メネラウスの定理より $\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QF}{FB} = 1$.

$\frac{1/5}{4/5} * \frac{1}{1/2} * \frac{BF}{FA} = \frac{1}{4} * 2 * \frac{AR}{RB}$. なので $\frac{AR}{RB}$ を求める。

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QR}{RB} = 1$

$\frac{1/5 BC}{4/5 BC} \cdot \frac{AC}{1/2 AC} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$.

$\frac{AR}{RB}=\frac{1}{2}$.$\frac{RB}{AR}= \frac{8}{1}$.$\overrightarrow{AR}=\frac{8}{9}AB$.

$CR = (1-x) CA+ x CB=>(1-x) CA+xCB.CA=2CQ.$メネラウスの定理を使う $\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BE}{EC}*\frac{CQ}{AQ} =1.$ $\frac{1/3}{2/3}$.

$\frac{CR}{R} = 2$

$\overrightarrow{AE}$を求める問題はないので $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{DE}= \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AD} = \frac{21}{25} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{25} \overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{DE} = -\frac{8}{35}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{35}\overrightarrow{AC}$

(4)

$\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{1}{35}$

3. 最終的な答え

(1)

$\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$

(2)

$\overrightarrow{AP} = \frac{4}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BQ} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

(3)

$\overrightarrow{AD} = \frac{21}{25}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{25}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{DE} = -\frac{8}{35}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{35}\overrightarrow{AC}$

(4)

$\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{1}{175}$