三角形ABCと点Pに対し、ベクトルに関して $5\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ が成り立つ。 (1) 点Pはどのような位置にあるか。 (2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCと点Pに対し、ベクトルに関して $5\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ が成り立つ。

(1) 点Pはどのような位置にあるか。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた式を点Aを始点とするベクトルで表す。

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$

これを $5\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ に代入すると、

$5\overrightarrow{AP} + 4(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$

$5\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{AP} - 4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$12\overrightarrow{AP} = 4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{12} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{4+3+5}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{7} \cdot \frac{7}{12}$

線分BCを $3:4$ に内分する点をDとすると、

$\overrightarrow{AD} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{7}$

したがって、$\overrightarrow{AP} = \frac{7}{12}\overrightarrow{AD}$

点Pは線分ADを $7:5$ に内分する点である。言い換えると、線分AD上にあり、AP:PD = 7:5を満たす点である。また、点Dは線分BC上にあり、BD:DC = 3:4を満たす点である。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求める。

三角形の面積比は、ベクトルの係数比に等しいことを利用する。

$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{12}$ の両辺を12倍すると、

$12\overrightarrow{AP} = 4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$

$12\overrightarrow{AP} - 4\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$-12\overrightarrow{PA} - 4\overrightarrow{BA} - 3\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}$

$-12\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{AP} - 4\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$

$5\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$

$5\overrightarrow{AP} + 4(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$

この式から、$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 5:4:3$

3. 最終的な答え

(1) 点Pは線分BCを $3:4$ に内分する点をDとしたとき、線分ADを $7:5$ に内分する点である。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 5:4:3$