点 $(3, \sqrt{3})$ を原点を中心に $-\frac{4}{3}\pi$ 回転させた点の座標を求めます。

1. 問題の内容

点 $(3, \sqrt{3})$ を原点を中心に $-\frac{4}{3}\pi$ 回転させた点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

回転行列を用いて計算します。原点を中心に$\theta$回転させる回転行列は

$$

\begin{pmatrix}

\cos\theta & -\sin\theta \\

\sin\theta & \cos\theta

\end{pmatrix}

$$

で表されます。今回の問題では、$\theta = -\frac{4}{3}\pi$ なので、回転行列は

$$

\begin{pmatrix}

\cos(-\frac{4}{3}\pi) & -\sin(-\frac{4}{3}\pi) \\

\sin(-\frac{4}{3}\pi) & \cos(-\frac{4}{3}\pi)

\end{pmatrix}

$$

となります。ここで、$\cos(-\frac{4}{3}\pi) = \cos(\frac{4}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$、$\sin(-\frac{4}{3}\pi) = -\sin(\frac{4}{3}\pi) = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、回転行列は

$$

\begin{pmatrix}

-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\

\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}

\end{pmatrix}

$$

となります。この回転行列を点 $(3, \sqrt{3})$ に作用させます。

$$

\begin{pmatrix}

-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\

\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

3 \\

\sqrt{3}

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-\frac{3}{2} - \frac{3}{2} \\

\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-3 \\

\sqrt{3}

\end{pmatrix}

$$

したがって、回転後の点の座標は $(-3, \sqrt{3})$ です。

3. 最終的な答え

$(-3, \sqrt{3})$