全体集合 $U = \{x \mid x は 8 以下の自然数\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 6, 7\}$, $B = \{2, 3, 4, 7\}$, $C = \{4, 5, 6, 7\}$ が与えられている。 このとき、1とAの関係、\{2, 3\}とBの関係、集合X=\{1, 2, 6, 7, 8\}、Y=\{1, 2, 3, 4, 8\}をA, B, Cを用いて表す問題を解く。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x \mid x は 8 以下の自然数\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 6, 7\}$, $B = \{2, 3, 4, 7\}$, $C = \{4, 5, 6, 7\}$ が与えられている。

このとき、1とAの関係、\{2, 3\}とBの関係、集合X=\{1, 2, 6, 7, 8\}、Y=\{1, 2, 3, 4, 8\}をA, B, Cを用いて表す問題を解く。

2. 解き方の手順

* ア：1は集合Aの要素であるため、1 $\in$ A

* イ：\{2, 3\}は集合Bの部分集合であるため、\{2, 3\} $\subset$ B

* ウ：X = {1, 2, 6, 7, 8}をA, B, Cを用いて表す。

まず、集合の演算を計算する。

$B \cap C = \{4, 7\}$, $B \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$である。

$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 6, 7\} \cup \{4, 7\} = \{1, 2, 4, 6, 7\}$

$A \cup (B \cup C) = \{1, 2, 6, 7\} \cup \{2, 3, 4, 5, 6, 7\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$

$B^c = U - B = \{1, 5, 6, 8\}$, $C^c = U - C = \{1, 2, 3, 8\}$

$B \cap C^c = \{2, 3, 4, 7\} \cap \{1, 2, 3, 8\} = \{2, 3\}$

$B^c \cap C = \{1, 5, 6, 8\} \cap \{4, 5, 6, 7\} = \{5, 6\}$

$A \cup (B \cap C^c) = \{1, 2, 6, 7\} \cup \{2, 3\} = \{1, 2, 3, 6, 7\}$

$A \cup (B^c \cap C) = \{1, 2, 6, 7\} \cup \{5, 6\} = \{1, 2, 5, 6, 7\}$

$A \cap B = \{2, 7\}$, $A \cap C = \{6, 7\}$

$(A \cap B) \cup C^c = \{2, 7\} \cup \{1, 2, 3, 8\} = \{1, 2, 3, 7, 8\}$

$(A \cap B) \cup C = \{2, 7\} \cup \{4, 5, 6, 7\} = \{2, 4, 5, 6, 7\}$

$(A \cap C) \cup B^c = \{6, 7\} \cup \{1, 5, 6, 8\} = \{1, 5, 6, 7, 8\}$

$(A \cap C) \cup B = \{6, 7\} \cup \{2, 3, 4, 7\} = \{2, 3, 4, 6, 7\}$

$(A \cap B) \cup C^c = \{2, 7\} \cup \{1, 2, 3, 8\} = \{1, 2, 3, 7, 8\}$

$(A \cap B) \cup C = \{2, 7\} \cup \{4, 5, 6, 7\} = \{2, 4, 5, 6, 7\}$

$(A \cap C) \cup B^c = \{6, 7\} \cup \{1, 5, 6, 8\} = \{1, 5, 6, 7, 8\}$

$(A \cap C) \cup B = \{6, 7\} \cup \{2, 3, 4, 7\} = \{2, 3, 4, 6, 7\}$

ここで、X = {1, 2, 6, 7, 8}であるため、(A $\cap$ C) $\cup$ B^cが適切である。

* エ：Y = \{1, 2, 3, 4, 8\}をA, B, Cを用いて表す。

先程の集合の演算結果から、

$(A \cap B) \cup C^c = \{2, 7\} \cup \{1, 2, 3, 8\} = \{1, 2, 3, 7, 8\}$ではない。

$(A \cap C) \cup B^c = \{6, 7\} \cup \{1, 5, 6, 8\} = \{1, 5, 6, 7, 8\}$ではない。

$(A \cap B) \cup C^c = \{2, 7\} \cup \{1, 2, 3, 8\} = \{1, 2, 3, 7, 8\}$ではない。

$(A \cap B) \cup C^c$ が適切である。

3. 最終的な答え

ア：$\in$

イ：$\subset$

ウ：$(A \cap B) \cup C^c$

エ：$(A \cap B) \cup C^c$