(1) $(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2$ の値を求める。 (2) $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2$ の値を求める。

(2) $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$(\sin\theta + \cos\theta)^2$ と $(\sin\theta - \cos\theta)^2$ を展開する。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

これらを足し合わせると

$(\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) + (\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) = 2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta$

三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使うと

$2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 2(1) = 2$

(2)

$(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)$ を展開する。

$(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) = 1 - \sin^2\theta$

三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ なので

$1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$

三角関数の恒等式 $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ を使うと

$\frac{1}{1 + \tan^2\theta} = \cos^2\theta$

よって

$(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta} = \cos^2\theta - \cos^2\theta = 0$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 0