集合$U$とその部分集合$A, B$の要素の個数について、$n(U) = 100, n(A \cup B) = 75, n(A \cap B) = 15, n(A \cap \overline{B}) = 40$が与えられています。このとき、$B$の要素の個数$n(B)$を求めます。

1. 問題の内容

集合$U$とその部分集合$A, B$の要素の個数について、$n(U) = 100, n(A \cup B) = 75, n(A \cap B) = 15, n(A \cap \overline{B}) = 40$が与えられています。このとき、$B$の要素の個数$n(B)$を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$A$の要素の個数$n(A)$を求めます。$A$は$A \cap B$と$A \cap \overline{B}$に分割できるので、$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B})$が成り立ちます。

したがって、

$n(A) = 15 + 40 = 55$

次に、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$という関係式を利用します。

与えられた情報から、$n(A \cup B) = 75$, $n(A) = 55$, $n(A \cap B) = 15$なので、$n(B)$について解くと、

$n(B) = n(A \cup B) - n(A) + n(A \cap B) = 75 - 55 + 15$

$n(B) = 20 + 15 = 35$

したがって、$B$の要素の個数は35です。

3. 最終的な答え

35