(1) 等式 $(1 - \tan^2\theta)\cos^2\theta + 2\sin^2\theta = 1$ を証明する。 (2) $\tan\theta = 3$ のとき、$\frac{1}{1+\sin\theta} + \frac{1}{1-\sin\theta}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 等式 $(1 - \tan^2\theta)\cos^2\theta + 2\sin^2\theta = 1$ を証明する。

(2) $\tan\theta = 3$ のとき、$\frac{1}{1+\sin\theta} + \frac{1}{1-\sin\theta}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 左辺を変形して右辺と一致することを示す。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いて左辺を $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の式で表す。

$(1 - \tan^2\theta)\cos^2\theta + 2\sin^2\theta = (1 - \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta})\cos^2\theta + 2\sin^2\theta$

$= \cos^2\theta - \sin^2\theta + 2\sin^2\theta$

$= \cos^2\theta + \sin^2\theta$

$= 1$

したがって、$(1 - \tan^2\theta)\cos^2\theta + 2\sin^2\theta = 1$ である。

(2) $\frac{1}{1+\sin\theta} + \frac{1}{1-\sin\theta}$ を計算し、$\tan\theta = 3$ を用いて値を求める。

$\frac{1}{1+\sin\theta} + \frac{1}{1-\sin\theta} = \frac{(1-\sin\theta) + (1+\sin\theta)}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}$

$= \frac{2}{1-\sin^2\theta}$

$= \frac{2}{\cos^2\theta}$

$= 2\sec^2\theta$

$\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ であるから、

$\sec^2\theta = 3^2 + 1 = 10$

$\frac{1}{1+\sin\theta} + \frac{1}{1-\sin\theta} = 2\sec^2\theta = 2 \times 10 = 20$

3. 最終的な答え

(1) $(1 - \tan^2\theta)\cos^2\theta + 2\sin^2\theta = 1$ である。

(2) $\frac{1}{1+\sin\theta} + \frac{1}{1-\sin\theta} = 20$ である。