画像にある3つの問題を解きます。 (1) $\sin(75^\circ)$ (2) $\cos(-\frac{5}{12}\pi)$ (3) $\frac{1}{\frac{1}{8+12} + \frac{1}{20}}$

1. 問題の内容

画像にある3つの問題を解きます。

(1) $\sin(75^\circ)$

(2) $\cos(-\frac{5}{12}\pi)$

(3) $\frac{1}{\frac{1}{8+12} + \frac{1}{20}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(75^\circ)$ を求める。

75°は45°+30°と表せるので、三角関数の加法定理を利用する。

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos(-\frac{5}{12}\pi)$ を求める。

$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ より、$\cos(-\frac{5}{12}\pi) = \cos(\frac{5}{12}\pi)$

$\frac{5}{12}\pi$ は $\frac{5}{12} \times 180^\circ = 75^\circ$ なので、

$\cos(\frac{5}{12}\pi) = \cos(75^\circ)$

$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) $\frac{1}{\frac{1}{8+12} + \frac{1}{20}}$ を求める。

まず分母を計算する。

$\frac{1}{8+12} + \frac{1}{20} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

したがって、$\frac{1}{\frac{1}{8+12} + \frac{1}{20}} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos(-\frac{5}{12}\pi) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) $\frac{1}{\frac{1}{8+12} + \frac{1}{20}} = 10$