(1) $\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}$ を簡単にし、$\sum_{n=16}^{80} \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ を計算する。 (2) 関数 $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ について、$f(\log_2 3)$ の値を求め、$f(x) = 5$ のときの $4^x + 4^{-x}$ の値を求める。 (3) 一辺の長さが6の正方形ABCDにおいて、辺CD上に2点P,QをCP=2, CQ=3となるようにとる。このとき、$\tan \angle QBC$, $\tan \angle QBP$を求め、三角形BCPの外接円の半径を求める。 (4) $\sqrt{882m}$ が整数となるような最小の自然数 $m$ を求める。

以下に、画像に写っている数学の問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}$ を簡単にし、$\sum_{n=16}^{80} \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ を計算する。

(2) 関数 $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ について、$f(\log_2 3)$ の値を求め、$f(x) = 5$ のときの $4^x + 4^{-x}$ の値を求める。

(3) 一辺の長さが6の正方形ABCDにおいて、辺CD上に2点P,QをCP=2, CQ=3となるようにとる。このとき、$\tan \angle QBC$, $\tan \angle QBP$を求め、三角形BCPの外接円の半径を求める。

(4) $\sqrt{882m}$ が整数となるような最小の自然数 $m$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{16}-\sqrt{15}}{(\sqrt{16}+\sqrt{15})(\sqrt{16}-\sqrt{15})} = \frac{\sqrt{16}-\sqrt{15}}{16-15} = \sqrt{16} - \sqrt{15}$

次に、$\sum_{n=16}^{80} \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

$\sum_{n=16}^{80} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = (\sqrt{17}-\sqrt{16}) + (\sqrt{18}-\sqrt{17}) + \cdots + (\sqrt{81}-\sqrt{80}) = \sqrt{81} - \sqrt{16} = 9 - 4 = 5$

(2)

$f(x) = 2^x + 2^{-x}$ について、$f(\log_2 3) = 2^{\log_2 3} + 2^{-\log_2 3} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

$f(x) = 5$ のとき、$2^x + 2^{-x} = 5$

$4^x + 4^{-x} = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 = (2^x + 2^{-x})^2 - 2(2^x)(2^{-x}) = 5^2 - 2 = 25 - 2 = 23$

(3)

$\tan \angle QBC = \frac{CQ}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\tan \angle QBP = \tan (\angle QBC - \angle PBC) = \frac{\tan \angle QBC - \tan \angle PBC}{1 + \tan \angle QBC \tan \angle PBC}$

$\tan \angle PBC = \frac{CP}{BC} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$\tan \angle QBP = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{6}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{1}{7}$

三角形BCPの外接円の半径をRとすると、正弦定理より

$\frac{BP}{\sin \angle BCP} = 2R$

$BP = \sqrt{BC^2 + CP^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$\sin \angle BCP = \sin 90^\circ = 1$

$2R = 2\sqrt{10}$

$R = \sqrt{10}$

(4)

$\sqrt{882m}$ が整数となるような最小の自然数 $m$ を求める。

$882 = 2 \times 441 = 2 \times 3 \times 147 = 2 \times 3 \times 3 \times 49 = 2 \times 3^2 \times 7^2$

$\sqrt{882m} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 7^2 \times m}$

$m = 2$ のとき、$\sqrt{2 \times 3^2 \times 7^2 \times 2} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 7^2} = 2 \times 3 \times 7 = 42$

3. 最終的な答え

(1) 1: 1, 2: 1, 3: 6, 4: 5

(2) 5: 1, 6: 0, 7: 3, 8: 2, 9: 3

(3) 10: 1, 11: 2, 12: 1, 13: 7, 14: 1, 15: 0

(4) 16: 2