全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、与えられた条件のもとで、$n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $n(U) = 50, n(A) = 23, n(B) = 35$ (2) $n(U) = 80, n(A) = 40, n(B) = 30$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A, B$ について、与えられた条件のもとで、$n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求める問題です。

(1) $n(U) = 50, n(A) = 23, n(B) = 35$

(2) $n(U) = 80, n(A) = 40, n(B) = 30$

2. 解き方の手順

$n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求めます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ が成り立ちます。

(1)

$n(A \cup B) \le n(U)$ であるから、$n(A) + n(B) - n(A \cap B) \le n(U)$

$23 + 35 - n(A \cap B) \le 50$

$58 - n(A \cap B) \le 50$

$n(A \cap B) \ge 58 - 50 = 8$

したがって、最小値は 8 です。

$A \cap B \subseteq A$ かつ $A \cap B \subseteq B$ であるから、

$n(A \cap B) \le n(A)$ かつ $n(A \cap B) \le n(B)$

$n(A \cap B) \le 23$ かつ $n(A \cap B) \le 35$

したがって、最大値は 23 です。

(2)

$n(A \cup B) \le n(U)$ であるから、$n(A) + n(B) - n(A \cap B) \le n(U)$

$40 + 30 - n(A \cap B) \le 80$

$70 - n(A \cap B) \le 80$

$n(A \cap B) \ge 70 - 80 = -10$

しかし、$n(A \cap B) \ge 0$ であるので、

$n(A \cap B) \ge 0$ となる。

ここで $n(A \cup B) \le n(U)$ より

$n(A) + n(B) - n(A \cap B) \le n(U)$なので $70 - n(A \cap B) \le 80$

これより、$n(A \cap B) \ge 70-80=-10$. これは$n(A \cap B)$が0以上の整数であることから、$n(A \cap B) \ge 0$であることと同義である。

よって、$n(A \cap B)$の最小値は、$0$である。

$A \cap B \subseteq A$ かつ $A \cap B \subseteq B$ であるから、

$n(A \cap B) \le n(A)$ かつ $n(A \cap B) \le n(B)$

$n(A \cap B) \le 40$ かつ $n(A \cap B) \le 30$

したがって、最大値は 30 です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 23, 最小値: 8

(2) 最大値: 30, 最小値: 0