正四角錐と正三角柱の各面を、異なる5色すべてを使って塗り分ける方法の数を求めます。ただし、立体を回転させて一致する塗り方は同じとみなします。 (1) 正四角錐の場合 (2) 正三角柱の場合

1. 問題の内容

正四角錐と正三角柱の各面を、異なる5色すべてを使って塗り分ける方法の数を求めます。ただし、立体を回転させて一致する塗り方は同じとみなします。

(1) 正四角錐の場合

(2) 正三角柱の場合

2. 解き方の手順

(1) 正四角錐の場合

正四角錐は、底面が正方形で、側面が4つの合同な二等辺三角形で構成されています。

まず、底面の塗り方を決めます。5色の中から1色を選ぶので、5通りあります。

次に、側面を塗ります。残りの4色を側面に塗りますが、回転して同じになる塗り方があるので、円順列の考え方を使います。4色の円順列は $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

したがって、正四角錐の塗り分け方は $5 \times 6 = 30$ 通りです。

(2) 正三角柱の場合

正三角柱は、底面と上面が正三角形で、側面が3つの長方形で構成されています。

まず、底面と上面の塗り方を決めます。5色の中から2色を選ぶ順列なので、 $5P2 = 5 \times 4 = 20$ 通りあります。

次に、側面を塗ります。残りの3色を側面に塗りますが、回転して同じになる塗り方があるので、円順列の考え方を使います。3色の円順列は $(3-1)! = 2! = 2$ 通りではなく、$3! / 3 = 2$通りと考えることもできます。

正三角柱をひっくり返すと上下の塗り方が入れ替わる場合があることに注意します。

底面と上面の色が決まっているので、回転させると同じ塗り方になる組み合わせだけを考慮すればよいです。

側面の３色の塗り方は、3! = 6通りあります。正三角柱を回転させると3通りの塗り方が同じになるので、6 / 3 = 2通り。

底面と上面の塗り方の20通りそれぞれに対して、側面の塗り方は2通りあるので、 $20 / 2 \times 2 = 20$

あるいは、側面の塗り方が円順列 $2!$ 通りです。

したがって、正三角柱の塗り分け方は $20 \times 1 = 20$ 通りです。（正三角柱をひっくり返して同じになる場合があるので/2する必要がある。$4\times 3/2=6$通りではない）

ただし、上下の三角形を入れ替えて同じになる場合があるので、上記計算方法では重複している。

正三角柱は、上下の三角形を入れ替えても同じになる塗り方がある。

底面の塗り方を5通りから選び、上面を4通りから選ぶ。側面の塗り方は3色の円順列で2通り。

$5 \times 4 \times 2 = 40$通り。上下の三角形を入れ替えて同じになる塗り方が何通りあるか考える。

上下の三角形の色が決まると、側面の塗り方が一意に決まる。

上下の三角形を入れ替えると、側面の塗り方も変わる。

したがって、$5 \times 4 \times (3-1)! / 2 = 5 \times 4 \times 1 = 20$が答え。

3. 最終的な答え

(1) 正四角錐の場合：30通り

(2) 正三角柱の場合：20通り