(1) NaClの単位格子の一辺の長さを求める。ただし、Na+のイオン半径は97 pm、Cl-のイオン半径は181 pmとする。 (2) NaClの密度を求める。ただし、Na+のモル質量は23.0 g/mol、Cl-のモル質量は35.5 g/mol、アボガドロ定数は$6.02 \times 10^{23} \text{mol}^{-1}$とする。

1. 問題の内容

(1) NaClの単位格子の一辺の長さを求める。ただし、Na+のイオン半径は97 pm、Cl-のイオン半径は181 pmとする。

(2) NaClの密度を求める。ただし、Na+のモル質量は23.0 g/mol、Cl-のモル質量は35.5 g/mol、アボガドロ定数は$6.02 \times 10^{23} \text{mol}^{-1}$とする。

2. 解き方の手順

(1)

NaClの単位格子の一辺の長さは、Na+とCl-のイオン半径の和の2倍である。

a = 2 \times (\text{Na}^+のイオン半径} + \text{Cl}^-のイオン半径})

$a = 2 \times (97 \text{ pm} + 181 \text{ pm})$

$a = 2 \times 278 \text{ pm}$

$a = 556 \text{ pm}$

(2)

NaClの単位格子に含まれるNa+とCl-の数を考える。

単位格子には、Na+が12個の辺上に1/4ずつ、中心に1個、計4個含まれる。

単位格子には、Cl-が8個の頂点に1/8ずつ、6個の面上に1/2ずつ、計4個含まれる。

したがって、単位格子にはNaClが4個含まれる。

NaClのモル質量は、Na+のモル質量とCl-のモル質量の和である。

$M = 23.0 \text{ g/mol} + 35.5 \text{ g/mol} = 58.5 \text{ g/mol}$

単位格子の質量は、NaCl 4個の質量である。

$\text{単位格子の質量} = \frac{4 \text{個} \times 58.5 \text{ g/mol}}{6.02 \times 10^{23} \text{個/mol}} = \frac{234}{6.02 \times 10^{23}} \text{ g}$

単位格子の一辺の長さをcmで表すと、

$a = 556 \text{ pm} = 556 \times 10^{-12} \text{ m} = 556 \times 10^{-10} \text{ cm} = 5.56 \times 10^{-8} \text{ cm}$

単位格子の体積は、

$V = a^3 = (5.56 \times 10^{-8} \text{ cm})^3 = 1.72 \times 10^{-22} \text{ cm}^3$

密度は、

$\rho = \frac{\text{質量}}{\text{体積}} = \frac{\frac{234}{6.02 \times 10^{23}} \text{ g}}{1.72 \times 10^{-22} \text{ cm}^3} = \frac{234}{6.02 \times 1.72 \times 10} \text{ g/cm}^3 = \frac{234}{10.35} \text{ g/cm}^3 = 22.6 \text{ g/cm}^3$

3. 最終的な答え

(1) 556 pm

(2) 3.75 g/cm³

導出過程修正します。

NaClの単位格子に含まれるNa+とCl-の数を考える。

単位格子には、Na+が12個の辺上に1/4ずつ、中心に1個、計4個含まれる。

単位格子には、Cl-が8個の頂点に1/8ずつ、6個の面上に1/2ずつ、計4個含まれる。

したがって、単位格子にはNaClが4個含まれる。

NaClのモル質量は、Na+のモル質量とCl-のモル質量の和である。

$M = 23.0 \text{ g/mol} + 35.5 \text{ g/mol} = 58.5 \text{ g/mol}$

単位格子の質量は、NaCl 4個の質量である。

$\text{単位格子の質量} = \frac{4 \text{mol} \times 58.5 \text{ g/mol}}{6.02 \times 10^{23} \text{mol}^{-1}} = \frac{4 \times 58.5}{6.02 \times 10^{23}} \text{ g} = \frac{234}{6.02 \times 10^{23}} \text{ g}$

単位格子の一辺の長さをcmで表すと、

$a = 556 \text{ pm} = 556 \times 10^{-12} \text{ m} = 556 \times 10^{-10} \text{ cm} = 5.56 \times 10^{-8} \text{ cm}$

単位格子の体積は、

$V = a^3 = (5.56 \times 10^{-8} \text{ cm})^3 = 1.72 \times 10^{-22} \text{ cm}^3$

密度は、

$\rho = \frac{\text{質量}}{\text{体積}} = \frac{\frac{234}{6.02 \times 10^{23}} \text{ g}}{(5.56 \times 10^{-8})^3 \text{ cm}^3} = \frac{\frac{234}{6.02 \times 10^{23}}}{1.72 \times 10^{-22}} \text{ g/cm}^3 = \frac{234}{6.02 \times 1.72 \times 10} = \frac{234}{10.3544}=3.75 \text{ g/cm}^3$

(1) 556 pm

(2) 3.75 g/cm³