全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ があり、$n(U) = 30$, $n(A) = 18$, $n(B) = 21$ である。このとき、$n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ があり、$n(U) = 30$, $n(A) = 18$, $n(B) = 21$ である。このとき、$n(A \cap B)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

$n(A \cap B)$ の最大値を求める。

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分なので、$n(A \cap B)$ は $n(A)$ と $n(B)$ を超えることはない。

したがって、$n(A \cap B)$ の最大値は $n(A)$ と $n(B)$ の小さい方である。

$n(A) = 18$, $n(B) = 21$ より、$n(A \cap B)$ の最大値は $18$ である。

$n(A \cap B)$ の最小値を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ である。

また、$n(A \cup B) \le n(U)$ である。

したがって、$n(A) + n(B) - n(A \cap B) \le n(U)$ となる。

$18 + 21 - n(A \cap B) \le 30$

$39 - n(A \cap B) \le 30$

$-n(A \cap B) \le -9$

$n(A \cap B) \ge 9$

したがって、$n(A \cap B)$ の最小値は $9$ である。

3. 最終的な答え

$n(A \cap B)$ の最大値は $18$

$n(A \cap B)$ の最小値は $9$