$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるということは、$100 \leq 3.75^n < 1000$ であるということです。この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 100 \leq \log_{10} (3.75^n) < \log_{10} 1000$

$2 \leq n \log_{10} 3.75 < 3$

$3.75 = \frac{15}{4} = \frac{3 \times 5}{2^2}$ なので、

$\log_{10} 3.75 = \log_{10} \frac{3 \times 5}{2^2} = \log_{10} 3 + \log_{10} 5 - 2 \log_{10} 2$

$= \log_{10} 3 + \log_{10} \frac{10}{2} - 2 \log_{10} 2 = \log_{10} 3 + \log_{10} 10 - \log_{10} 2 - 2 \log_{10} 2$

$= \log_{10} 3 + 1 - 3 \log_{10} 2$

$= 0.4771 + 1 - 3(0.3010) = 0.4771 + 1 - 0.9030 = 0.5741$

したがって、 $2 \leq 0.5741n < 3$ となります。

各辺を $0.5741$ で割ると、

$\frac{2}{0.5741} \leq n < \frac{3}{0.5741}$

$3.483 \leq n < 5.226$

$n$ は整数なので、$n = 4, 5$。

したがって、条件を満たす $n$ の個数は2個です。

3. 最終的な答え

2個