(1) $a \neq 1$ または $b \neq 3$ ならば、$4a-b \neq 1$ または $2a+b \neq 5$ であることを証明する問題です。証明は、対偶をとり、連立方程式を解くことによって進められています。空欄に適切な語句を答えます。 (2) $\sqrt{15}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3}+\sqrt{5}$ が無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

(1) $a \neq 1$ または $b \neq 3$ ならば、$4a-b \neq 1$ または $2a+b \neq 5$ であることを証明する問題です。証明は、対偶をとり、連立方程式を解くことによって進められています。空欄に適切な語句を答えます。

(2) $\sqrt{15}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3}+\sqrt{5}$ が無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた命題「$a \neq 1$ または $b \neq 3$ ならば、$4a-b \neq 1$ または $2a+b \neq 5$」の対偶は、「$4a-b = 1$ かつ $2a+b = 5$ ならば、$a = 1$ かつ $b = 3$」となっています。

連立方程式 $4a-b = 1$ と $2a+b = 5$ を解くと、$a = 1, b = 3$ となります。したがって、対偶は真です。

対偶が真ならば、元の命題も真です。

(2)

$\sqrt{3}+\sqrt{5}$ が無理数であることを示すためには、背理法を用いることができます。

$\sqrt{3}+\sqrt{5}$ が有理数であると仮定します。すると、ある有理数 $r$ が存在して、

$\sqrt{3}+\sqrt{5} = r$

となります。両辺を2乗すると、

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = r^2$

$3 + 2\sqrt{15} + 5 = r^2$

$8 + 2\sqrt{15} = r^2$

$2\sqrt{15} = r^2 - 8$

$\sqrt{15} = \frac{r^2 - 8}{2}$

$r$ は有理数なので、$r^2$ も有理数、$r^2-8$ も有理数であり、$\frac{r^2-8}{2}$ も有理数となります。

これは、$\sqrt{15}$ が無理数であるという仮定に矛盾します。したがって、$\sqrt{3}+\sqrt{5}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

(1)

31: 真

32: 真

(2) (解答略)