写像 $f: X \rightarrow Y$ に対して、(1) $f$ の逆像 と (2) $f$ の逆写像 の定義を述べる。

1. 問題の内容

写像 $f: X \rightarrow Y$ に対して、(1) $f$ の逆像 と (2) $f$ の逆写像 の定義を述べる。

2. 解き方の手順

(1) $f$ の逆像:

$Y$ の部分集合 $B$ に対して、$f$ の $B$ による逆像 $f^{-1}(B)$ は、次のように定義される $X$ の部分集合である。

$$f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}$$

つまり、$f^{-1}(B)$ は、$f$ によって $B$ に写される $X$ の要素全体の集合である。

(2) $f$ の逆写像:

写像 $f: X \rightarrow Y$ が全単射であるとき、$f$ の逆写像 $f^{-1}: Y \rightarrow X$ は、次のように定義される写像である。

任意の $y \in Y$ に対して、$f^{-1}(y)$ は、$f(x) = y$ を満たす唯一の $x \in X$ である。

$$f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y$$

$f$ が全単射でない場合、$f$ の逆写像は一般には存在しない。しかし、全射である場合に、単射でない場合には、逆写像の概念を一般化できる。全射でない場合は、定義域を制限することで全射にできることがある。

3. 最終的な答え

(1) $f$ の逆像: $Y$ の部分集合 $B$ に対して、$f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}$

(2) $f$ の逆写像: $f: X \rightarrow Y$ が全単射のとき、任意の $y \in Y$ に対して、$f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y$ を満たす写像 $f^{-1}: Y \rightarrow X$