加法定理を用いて、以下の値を求める問題です。 (1) $\sin 15^\circ$ (2) $\tan 75^\circ$ (3) $\cos \frac{\pi}{12}$

1. 問題の内容

加法定理を用いて、以下の値を求める問題です。

(1) $\sin 15^\circ$

(2) $\tan 75^\circ$

(3) $\cos \frac{\pi}{12}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 15^\circ$を求める。

$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$と考える。

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$を用いる。

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$を代入する。

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\tan 75^\circ$を求める。

$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$と考える。

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$を用いる。

$\tan 75^\circ = \tan (45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ}$

$\tan 45^\circ = 1$, $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$を代入する。

$\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

分母を有理化する。

$\tan 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

(3) $\cos \frac{\pi}{12}$を求める。

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$と考える。

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$を用いる。

$\cos \frac{\pi}{12} = \cos (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$を代入する。

$\cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$

(3) $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$