与えられた問題を以下のように分解します。 (1) 複素数の計算：$\frac{1-2i}{3+i}$ を計算して、簡単な形にしてください。 (2) 指数の計算：$3^{-1} \times 6^2 \times 12^{-\frac{1}{2}}$ を計算してください。 (3) 2進数から10進数への変換： (i) $110011_{(2)}$ を10進数に変換してください。 (ii) $10011010_{(2)}$ を10進数に変換してください。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた問題を以下のように分解します。

(1) 複素数の計算：$\frac{1-2i}{3+i}$ を計算して、簡単な形にしてください。

(2) 指数の計算：$3^{-1} \times 6^2 \times 12^{-\frac{1}{2}}$ を計算してください。

(3) 2進数から10進数への変換：

(i) $110011_{(2)}$ を10進数に変換してください。

(ii) $10011010_{(2)}$ を10進数に変換してください。

2. 解き方の手順

(1) 複素数の計算 $\frac{1-2i}{3+i}$

まず、分母の複素共役 $3-i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1-2i}{3+i} = \frac{(1-2i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}$

分子を展開します。

$(1-2i)(3-i) = 1\times3 + 1\times(-i) + (-2i)\times3 + (-2i)\times(-i) = 3 - i - 6i + 2i^2 = 3 - 7i - 2 = 1 - 7i$

分母を展開します。

$(3+i)(3-i) = 3^2 - (i)^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$

したがって、

$\frac{1-2i}{3+i} = \frac{1-7i}{10} = \frac{1}{10} - \frac{7}{10}i$

(2) 指数の計算 $3^{-1} \times 6^2 \times 12^{-\frac{1}{2}}$

$3^{-1} = \frac{1}{3}$

$6^2 = 36$

$12^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

したがって、

$3^{-1} \times 6^2 \times 12^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times 36 \times \frac{1}{2\sqrt{3}} = 12 \times \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

(3) 2進数から10進数への変換

(i) $110011_{(2)}$

$110011_{(2)} = 1\times2^5 + 1\times2^4 + 0\times2^3 + 0\times2^2 + 1\times2^1 + 1\times2^0 = 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51$

(ii) $10011010_{(2)}$

$10011010_{(2)} = 1\times2^7 + 0\times2^6 + 0\times2^5 + 1\times2^4 + 1\times2^3 + 0\times2^2 + 1\times2^1 + 0\times2^0 = 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 154$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1-2i}{3+i} = \frac{1}{10} - \frac{7}{10}i$

(2) $3^{-1} \times 6^2 \times 12^{-\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$

(3)

(i) $110011_{(2)} = 51$

(ii) $10011010_{(2)} = 154$