加法定理を用いて、$sin 75^\circ$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、$sin 75^\circ$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$75^\circ$ は、$30^\circ + 45^\circ$ と分解できます。

そこで、正弦の加法定理

$sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB$

を利用します。

$A = 30^\circ$ 、$B = 45^\circ$ とすると、

$sin 75^\circ = sin(30^\circ + 45^\circ) = sin 30^\circ cos 45^\circ + cos 30^\circ sin 45^\circ$

三角関数の値を代入します。

$sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$sin 75^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$