等式 $(1 - \tan^2 \theta)\cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta = 1$ を証明する。

1. 問題の内容

等式 $(1 - \tan^2 \theta)\cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta = 1$ を証明する。

2. 解き方の手順

左辺を展開して、三角関数の恒等式を用いて右辺に等しくなることを示す。

まず、左辺 $(1 - \tan^2 \theta)\cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta$ を展開する。

$(1 - \tan^2 \theta)\cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta = \cos^2 \theta - \tan^2 \theta \cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であるから、$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ を代入する。

$\cos^2 \theta - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + 2\sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + 2\sin^2 \theta = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta$

三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

したがって、左辺は1に等しく、右辺と一致する。

3. 最終的な答え

$(1 - \tan^2 \theta)\cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta = 1$ が証明された。