(1) 三角形ABCにおいて、$AB=2, BC=6, AC=5$のとき、$\tan C$の値を求める。 (2) 放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた図形の面積を求める。 (3) $2^{\frac{1}{2}}, 3^{\frac{1}{3}}, 5^{\frac{1}{5}}$ を小さい順に並べる。 (4) $\frac{2a-1}{2+\sqrt{2}} = b - 2\sqrt{2}$ を満たす有理数 $a, b$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 三角形ABCにおいて、$AB=2, BC=6, AC=5$のとき、$\tan C$の値を求める。

(2) 放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた図形の面積を求める。

(3) $2^{\frac{1}{2}}, 3^{\frac{1}{3}}, 5^{\frac{1}{5}}$ を小さい順に並べる。

(4) $\frac{2a-1}{2+\sqrt{2}} = b - 2\sqrt{2}$ を満たす有理数 $a, b$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて $\cos C$ を求める。その後、$\sin C$ を求め、$\tan C = \frac{\sin C}{\cos C}$ を計算する。

余弦定理より、$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2(BC)(AC) \cos C$ なので、

$2^2 = 6^2 + 5^2 - 2(6)(5) \cos C$

$4 = 36 + 25 - 60 \cos C$

$60 \cos C = 57$

$\cos C = \frac{57}{60} = \frac{19}{20}$

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ より、

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (\frac{19}{20})^2 = 1 - \frac{361}{400} = \frac{39}{400}$

$\sin C = \sqrt{\frac{39}{400}} = \frac{\sqrt{39}}{20}$

$\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{\frac{\sqrt{39}}{20}}{\frac{19}{20}} = \frac{\sqrt{39}}{19}$

(2) $x^2 = x+2$ を解いて、交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = -1, 2$

求める面積は $\int_{-1}^{2} (x+2 - x^2) dx$

$\int_{-1}^{2} (x+2 - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2} = (\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) = 2 + 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} = 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} = 8 - 3 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

面積は $\frac{9}{2}$

(3) $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}, 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}, 5^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{5}$

$2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{15}{30}}, 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{10}{30}}, 5^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{6}{30}}$

$(2^{15})^{\frac{1}{30}}, (3^{10})^{\frac{1}{30}}, (5^{6})^{\frac{1}{30}}$

$2^{15} = 32768, 3^{10} = 59049, 5^{6} = 15625$

よって $5^{\frac{1}{5}} < 2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}}$

(4) $\frac{2a-1}{2+\sqrt{2}} = \frac{(2a-1)(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{(2a-1)(2-\sqrt{2})}{4-2} = \frac{(2a-1)(2-\sqrt{2})}{2} = (2a-1) - \frac{(2a-1)\sqrt{2}}{2}$

$\frac{2a-1}{2+\sqrt{2}} = b - 2\sqrt{2}$ より、

$(2a-1) - \frac{(2a-1)\sqrt{2}}{2} = b - 2\sqrt{2}$

$2a-1 = b$ かつ $\frac{2a-1}{2} = 2$

$2a-1 = 4$

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2}$

$b = 2a-1 = 5-1 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\tan C = \frac{\sqrt{39}}{19}$

(2) $\frac{9}{2}$

(3) $5^{\frac{1}{5}} < 2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}}$

(4) $a = \frac{5}{2}, b = 4$

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解く。

2. 解き方の手順

上記に記載。

3. 最終的な答え

(1) $\tan C = \frac{\sqrt{39}}{19}$

(2) $\frac{9}{2}$

(3) $5 < 1 < 2$

(4) $a=\frac{5}{2}, b=4$