60人の生徒に2種類の本A, Bを読んだことがあるか聞いた。Aを読んだ生徒は30人、Bを読んだ生徒は50人、AもBも読んでいない生徒は8人であった。 (3) Bだけ読んで、Aは読んでいない生徒は何人いるか。

1. 問題の内容

60人の生徒に2種類の本A, Bを読んだことがあるか聞いた。Aを読んだ生徒は30人、Bを読んだ生徒は50人、AもBも読んでいない生徒は8人であった。

(3) Bだけ読んで、Aは読んでいない生徒は何人いるか。

2. 解き方の手順

全体の人数をUとすると、$n(U) = 60$。

Aを読んだ生徒の集合をA、Bを読んだ生徒の集合をBとする。

$n(A) = 30$、$n(B) = 50$。

AもBも読んでいない生徒の集合は$\overline{A \cup B}$で、その人数は8人なので、$n(\overline{A \cup B}) = 8$。

ド・モルガンの法則より、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$。

ここで、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$であるから、$n(A \cup B) = n(U) - n(\overline{A \cup B}) = 60 - 8 = 52$。

和集合の要素の個数に関する公式より、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$。

したがって、$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 30 + 50 - 52 = 28$。

Bだけ読んでAは読んでいない生徒の集合は$B \cap \overline{A}$。

$n(B \cap \overline{A}) = n(B) - n(A \cap B) = 50 - 28 = 22$。

3. 最終的な答え

22人