スクリーニング検査のキットがあり、ROC曲線が点(0.1, 0.9)を通る。このキットを有病率0.1の集団に適用したとき、検査で陽性だった人が有病である確率（陽性的中率）を求める。

1. 問題の内容

スクリーニング検査のキットがあり、ROC曲線が点(0.1, 0.9)を通る。このキットを有病率0.1の集団に適用したとき、検査で陽性だった人が有病である確率（陽性的中率）を求める。

2. 解き方の手順

ベイズの定理を使って、陽性的中率を計算します。

まず、記号を定義します。

* D: 有病である事象

* $\overline{D}$: 無病である事象

* +: 検査で陽性となる事象

求めるものは、$P(D|+)$、つまり陽性だった人が実際に有病である確率です。

ベイズの定理より、

$P(D|+) = \frac{P(+|D)P(D)}{P(+)}$

ここで、

$P(+) = P(+|D)P(D) + P(+|\overline{D})P(\overline{D})$

問題文より、

* $P(D) = 0.1$ (有病率)

* $P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.1 = 0.9$

* $P(+|D) = 0.9$ (有病者の陽性確率)

* $P(+|\overline{D}) = 0.1$ (無病者の陽性確率)

これらの値を代入して、$P(+)$ を計算します。

$P(+) = (0.9)(0.1) + (0.1)(0.9) = 0.09 + 0.09 = 0.18$

次に、$P(D|+)$ を計算します。

$P(D|+) = \frac{(0.9)(0.1)}{0.18} = \frac{0.09}{0.18} = 0.5$

3. 最終的な答え

検査で陽性だった人が有病である確率は0.5です。