与えられた問題は、1から4の数字を重複を許して並べて作られる4桁の自然数に関する確率の問題です。具体的には、特定の条件を満たす自然数の個数や、引いたカードに書かれた数字に関する確率を計算します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、1から4の数字を重複を許して並べて作られる4桁の自然数に関する確率の問題です。具体的には、特定の条件を満たす自然数の個数や、引いたカードに書かれた数字に関する確率を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 1から4までの数字を重複を許して並べてできる4桁の自然数の総数を求めます。各桁は4通りの数字を選ぶことができるので、全部で $4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4$ 個の自然数ができます。

(2) (1)の自然数のうち、1から4までの数字を重複なく使ってできるものの個数を求めます。これは4つの数字を並べる順列の数なので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$ 個です。

(3) 異なる2つの数字を2回ずつ使ってできるものの個数を求めます。

(i) 1から4までの数字から異なる2つを選ぶ選び方は、$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1}$ 通りです。

(ii) 選んだ2つの数字のうち小さい方を置く2か所の決め方は、4つの場所から2つを選ぶ組み合わせなので、$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1}$ 通りです。

(iii) (i)と(ii)より、求める個数は、$\frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \times 6$ 個です。

(4) (1)の自然数を書き出したカードから1枚引くときの確率を求めます。

- 4つとも同じ数字である確率は、4つの数字から1つを選ぶだけなので4通り。確率は $\frac{4}{256}$

- 2回現れる数字が2つある確率を求めます。例えば、1122の様な数。まず、2種類の数字の選び方が $_4C_2 = 6$通り。それらの並べ方は$\frac{4!}{2!2!} = 6$通り。よって全部で$6 \times 6 = 36$通り。確率は$\frac{36}{256}$。

- 3回現れる数字が1つと、1回だけ現れる数字が1つある確率を求めます。例えば、1112の様な数。まず、3回現れる数字の選び方が4通り。次に、1回現れる数字の選び方が3通り。それらの並べ方は$\frac{4!}{3!} = 4$通り。よって全部で$4 \times 3 \times 4 = 48$通り。確率は$\frac{48}{256}$。

- 2回現れる数字が1つと、1回だけ現れる数字が2つある確率を求めます。例えば、1123の様な数。まず、2回現れる数字の選び方が4通り。次に、1回現れる数字2つの選び方が$_3C_2 = 3$通り。それらの並べ方は$\frac{4!}{2!} = 12$通り。よって全部で$4 \times 3 \times 12 = 144$通り。確率は$\frac{144}{256}$。

3. 最終的な答え

(1) アイウ: 256

(2) エオ: 24

(3) (i) 力: 6

(ii) キ: 6

(iii) クケ: 36

(4) コ: 4/256 = 1/64

ス/セソ: 36/256 = 9/64

タ/チッ: 48/256 = 3/16

テ/トナ: 144/256 = 9/16