母平均1、母標準偏差1の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出する。標本平均 $\bar{X}$ が0.9以上1.1以下である確率を、$n = 100, 400$ の場合について考察する。$n=100$ のとき、$\bar{X}$ は近似的に正規分布 $N(1, (\frac{1}{10})^2)$ に従う。$Z = \frac{\bar{X} - 1}{ア}$ とおくと、$Z$ は近似的に標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。確率 $P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1)$ を、$Z$ を用いて表し、その値を計算する。また、$n=400$ の場合についても同様に確率 $P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1)$ を計算する。

1. 問題の内容

母平均1、母標準偏差1の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出する。標本平均 $\bar{X}$ が0.9以上1.1以下である確率を、$n = 100, 400$ の場合について考察する。$n=100$ のとき、$\bar{X}$ は近似的に正規分布 $N(1, (\frac{1}{10})^2)$ に従う。$Z = \frac{\bar{X} - 1}{ア}$ とおくと、$Z$ は近似的に標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。確率 $P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1)$ を、$Z$ を用いて表し、その値を計算する。また、$n=400$ の場合についても同様に確率 $P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1)$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$Z = \frac{\bar{X}-1}{ア}$ が標準正規分布に従うように、$ア$ を求める。$\bar{X}$ が $N(1, (\frac{1}{10})^2)$ に従うので、$Z = \frac{\bar{X} - 1}{1/10} = 10(\bar{X}-1)$ とおくと、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。したがって、$ア = \frac{1}{10}$ である。

次に、$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1)$ を $Z$ で表す。

$0.9 \le \bar{X} \le 1.1$ より、

$10(0.9 - 1) \le 10(\bar{X} - 1) \le 10(1.1 - 1)$

$-1 \le Z \le 1$

よって、$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = P(-1 \le Z \le 1)$ である。

$P(-1 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -1) = P(Z \le 1) - (1 - P(Z \le 1)) = 2P(Z \le 1) - 1$

$= 2(P(Z \le 0) + P(0 \le Z \le 1)) - 1 = 2(0.5 + P(0 \le Z \le 1)) - 1 = 2 P(0 \le Z \le 1)$。

したがって、$ウ = 2$ である。

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$ であるので、$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = 2 \times 0.3413 = 0.6826$。

したがって、$エオカ = 0.683$ である。

次に、$n=400$ のとき、$\bar{X}$ は近似的に正規分布 $N(1, (\frac{1}{20})^2)$ に従う。$Z = \frac{\bar{X}-1}{1/20} = 20(\bar{X}-1)$ とおくと、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

$0.9 \le \bar{X} \le 1.1$ より、

$20(0.9 - 1) \le 20(\bar{X} - 1) \le 20(1.1 - 1)$

$-2 \le Z \le 2$

よって、$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = P(-2 \le Z \le 2) = 2 P(0 \le Z \le 2)$。

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$ であるので、$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = 2 \times 0.4772 = 0.9544$。

したがって、$キクケ = 0.954$ である。

3. 最終的な答え

ア：$\frac{1}{10}$

イ：1

ウ：2

エオカ：0.683

キクケ：0.954