種子Aの発芽率は75%である。品種改良した種子Bから100個を抽出して種をまいたところ、84個が発芽した。種子Bの発芽率が種子Aより上がったと判断して良いか、有意水準5%で答えよ。ただし、$\sqrt{3} = 1.73$とし、確率変数Zが標準正規分布N(0,1)に従うとき、$P(0 \le Z \le 1.64) = 0.45$とする。

1. 問題の内容

種子Aの発芽率は75%である。品種改良した種子Bから100個を抽出して種をまいたところ、84個が発芽した。種子Bの発芽率が種子Aより上がったと判断して良いか、有意水準5%で答えよ。ただし、$\sqrt{3} = 1.73$とし、確率変数Zが標準正規分布N(0,1)に従うとき、$P(0 \le Z \le 1.64) = 0.45$とする。

2. 解き方の手順

帰無仮説：種子Bの発芽率は種子Aの発芽率と変わらない（75%）。

対立仮説：種子Bの発芽率は種子Aの発芽率より高い。

標本における発芽率 $\hat{p}$ は $\frac{84}{100} = 0.84$。

母比率 $p$ は 0.75。

標本サイズ $n$ は 100。

標準誤差 $\sigma_{\hat{p}}$ は次のように計算できる。

$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.75(1-0.75)}{100}} = \sqrt{\frac{0.75 \times 0.25}{100}} = \sqrt{\frac{0.1875}{100}} = \sqrt{0.001875} \approx 0.0433$

検定統計量 $Z$ は次のように計算できる。

$Z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.84 - 0.75}{0.0433} = \frac{0.09}{0.0433} \approx 2.08$

有意水準5%の片側検定を行う。

$P(0 \le Z \le 1.64) = 0.45$ より、$P(Z \ge 1.64) = 0.5 - 0.45 = 0.05$

よって、棄却域は $Z > 1.64$。

計算された $Z$ 値は 2.08 であり、これは棄却域に含まれる ($2.08 > 1.64$)。したがって、帰無仮説は棄却される。

3. 最終的な答え

結論：有意水準5%で、種子Bの発芽率は種子Aより上がったと判断できる。