1個のサイコロを10回投げるとき、1または2の目が出る回数Xの期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを10回投げるとき、1または2の目が出る回数Xの期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ。

2. 解き方の手順

サイコロを1回投げる時、1または2の目が出る確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。

よって、Xは二項分布$B(10, \frac{1}{3})$に従う。

二項分布$B(n, p)$に従う確率変数Xの期待値と分散はそれぞれ、

$E(X) = np$

$V(X) = np(1-p)$

で与えられる。標準偏差は分散の平方根$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$である。

よって、$E(X) = 10 \cdot \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

$V(X) = 10 \cdot \frac{1}{3} \cdot (1-\frac{1}{3}) = 10 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{9}$

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

期待値: $E(X) = \frac{10}{3}$

標準偏差: $\sigma(X) = \frac{2\sqrt{5}}{3}$