赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求めます。 (1) 取り出した4個の玉の中に白玉が入っていない確率 (2) 取り出した4個の玉の中に青玉が入っている確率 (3) 取り出した4個の玉の中に赤玉、青玉、白玉の全てが入っている確率

1. 問題の内容

赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求めます。

(1) 取り出した4個の玉の中に白玉が入っていない確率

(2) 取り出した4個の玉の中に青玉が入っている確率

(3) 取り出した4個の玉の中に赤玉、青玉、白玉の全てが入っている確率

2. 解き方の手順

(1) 白玉が入っていない確率

白玉が入っていないということは、赤玉4個と青玉3個の中から4個選ぶことになります。

全事象は、9個の玉から4個を選ぶ組み合わせなので、$_9C_4$です。白玉が入っていない事象は、赤玉4個と青玉3個の中から4個を選ぶ組み合わせなので、$_7C_4$です。

したがって、白玉が入っていない確率は、

$P(1) = \frac{_7C_4}{_9C_4}$

$_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

$P(1) = \frac{35}{126} = \frac{5}{18}$

(2) 青玉が入っている確率

青玉が1つも入っていない確率を求めて、1から引くことで、青玉が入っている確率を求めます。青玉が1つも入っていないということは、赤玉4個と白玉2個の中から4個を選ぶことになります。しかし、赤玉4個と白玉2個の合計は6個なので、4個選ぶ組み合わせは、$_6C_4$です。全事象は、$_9C_4$です。

したがって、青玉が入っていない確率は、

$\frac{_6C_4}{_9C_4}$

$_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_9C_4 = 126$

青玉が入っていない確率は、$\frac{15}{126} = \frac{5}{42}$

したがって、青玉が入っている確率は、

$P(2) = 1 - \frac{5}{42} = \frac{37}{42}$

(3) 赤玉、青玉、白玉の全てが入っている確率

赤玉、青玉、白玉の全てが入っているということは、それぞれの色の玉が少なくとも1つは含まれているということです。4つの玉を選ぶので、それぞれの個数は1個、1個、2個、または1個、2個、1個、または2個、1個、1個という組み合わせしかありません。

(赤1, 青1, 白2)の場合: $_4C_1 \times _3C_1 \times _2C_2 = 4 \times 3 \times 1 = 12$

(赤1, 青2, 白1)の場合: $_4C_1 \times _3C_2 \times _2C_1 = 4 \times 3 \times 2 = 24$

(赤2, 青1, 白1)の場合: $_4C_2 \times _3C_1 \times _2C_1 = 6 \times 3 \times 2 = 36$

したがって、全ての色が入っている組み合わせの数は、$12 + 24 + 36 = 72$

全事象は、$_9C_4 = 126$

したがって、赤玉、青玉、白玉の全てが入っている確率は、

$P(3) = \frac{72}{126} = \frac{4}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{18}$

(2) $\frac{37}{42}$

(3) $\frac{4}{7}$