確率変数 $X$ のとる値の範囲が $-1 \le X \le 1$ で、その確率密度関数 $f(x)$ が $f(x) = 1 - |x|$ ($-1 \le x \le 1$) で与えられているとき、以下の確率を求める問題です。 (1) $P(0 \le X \le 0.25)$ (2) $P(X \le 0.25)$ (3) $P(-0.5 \le X \le 0.3)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ のとる値の範囲が $-1 \le X \le 1$ で、その確率密度関数 $f(x)$ が $f(x) = 1 - |x|$ ($-1 \le x \le 1$) で与えられているとき、以下の確率を求める問題です。

(1) $P(0 \le X \le 0.25)$

(2) $P(X \le 0.25)$

(3) $P(-0.5 \le X \le 0.3)$

2. 解き方の手順

確率密度関数 $f(x)$ が与えられているとき、確率 $P(a \le X \le b)$ は積分 $\int_a^b f(x) dx$ で計算できます。

$f(x) = 1 - |x|$ なので、積分範囲に応じて $|x|$ の扱いを変える必要があります。

(1) $P(0 \le X \le 0.25)$ を求める場合、積分範囲は $[0, 0.25]$ です。この範囲では $x \ge 0$ なので、$|x| = x$ となります。したがって、

$f(x) = 1 - x$ となり、

$P(0 \le X \le 0.25) = \int_0^{0.25} (1-x) dx = [x - \frac{x^2}{2}]_0^{0.25} = 0.25 - \frac{0.25^2}{2} = 0.25 - \frac{0.0625}{2} = 0.25 - 0.03125 = 0.21875$

(2) $P(X \le 0.25)$ を求める場合、積分範囲は $[-1, 0.25]$ です。積分範囲を $[-1, 0]$ と $[0, 0.25]$ に分割します。

$[-1, 0]$ では $x < 0$ なので $|x| = -x$ となり、$f(x) = 1 - (-x) = 1 + x$ となります。

$[0, 0.25]$ では $x \ge 0$ なので $|x| = x$ となり、$f(x) = 1 - x$ となります。(1) と同じです。

よって、

$P(X \le 0.25) = \int_{-1}^0 (1+x) dx + \int_0^{0.25} (1-x) dx = [x + \frac{x^2}{2}]_{-1}^0 + [x - \frac{x^2}{2}]_0^{0.25} = (0 - (-1 + \frac{1}{2})) + (0.25 - \frac{0.25^2}{2}) = (1 - \frac{1}{2}) + 0.21875 = \frac{1}{2} + 0.21875 = 0.5 + 0.21875 = 0.71875$

(3) $P(-0.5 \le X \le 0.3)$ を求める場合、積分範囲は $[-0.5, 0.3]$ です。積分範囲を $[-0.5, 0]$ と $[0, 0.3]$ に分割します。

$[-0.5, 0]$ では $x < 0$ なので $|x| = -x$ となり、$f(x) = 1 - (-x) = 1 + x$ となります。

$[0, 0.3]$ では $x \ge 0$ なので $|x| = x$ となり、$f(x) = 1 - x$ となります。

よって、

$P(-0.5 \le X \le 0.3) = \int_{-0.5}^0 (1+x) dx + \int_0^{0.3} (1-x) dx = [x + \frac{x^2}{2}]_{-0.5}^0 + [x - \frac{x^2}{2}]_0^{0.3} = (0 - (-0.5 + \frac{0.25}{2})) + (0.3 - \frac{0.09}{2}) = (0.5 - 0.125) + (0.3 - 0.045) = 0.375 + 0.255 = 0.63$

3. 最終的な答え

(1) $P(0 \le X \le 0.25) = 0.21875$

(2) $P(X \le 0.25) = 0.71875$

(3) $P(-0.5 \le X \le 0.3) = 0.63$