問1：$x_i$ が与えられた数値をとるとき、$\sum_{i=1}^{4} x_i^2$ と $\sum_{i=1}^{4} (x_i - 1)$ の値を計算する。 問2：5つの観測値 3, 4, 9, 15, a の平均値が a-1 であるとき、これらの観測値の平均と分散を求める。

1. 問題の内容

問1：$x_i$ が与えられた数値をとるとき、$\sum_{i=1}^{4} x_i^2$ と $\sum_{i=1}^{4} (x_i - 1)$ の値を計算する。

問2：5つの観測値 3, 4, 9, 15, a の平均値が a-1 であるとき、これらの観測値の平均と分散を求める。

2. 解き方の手順

問1：

$\sum_{i=1}^{4} x_i^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$ を計算する。

$x_1=2, x_2=3, x_3=-3, x_4=2$ を代入する。

$\sum_{i=1}^{4} (x_i - 1) = (x_1 - 1) + (x_2 - 1) + (x_3 - 1) + (x_4 - 1)$ を計算する。

$x_1=2, x_2=3, x_3=-3, x_4=2$ を代入する。

問2：

5つの観測値の平均は $\frac{3+4+9+15+a}{5}$ である。

平均値が $a-1$ であるから、$\frac{3+4+9+15+a}{5} = a-1$ という方程式を解いて $a$ を求める。

求めた $a$ の値を用いて、5つの観測値の平均を計算する。

5つの観測値の分散を計算する。分散は各観測値と平均の差の二乗の平均である。

3. 最終的な答え

問1：

$\sum_{i=1}^{4} x_i^2 = 2^2 + 3^2 + (-3)^2 + 2^2 = 4 + 9 + 9 + 4 = 26$

$\sum_{i=1}^{4} (x_i - 1) = (2-1) + (3-1) + (-3-1) + (2-1) = 1 + 2 - 4 + 1 = 0$

問2：

$\frac{3+4+9+15+a}{5} = a-1$

$31 + a = 5(a-1)$

$31 + a = 5a - 5$

$36 = 4a$

$a = 9$

平均：$a-1 = 9-1 = 8$

分散：

各観測値と平均の差：

$3-8 = -5$

$4-8 = -4$

$9-8 = 1$

$15-8 = 7$

$9-8 = 1$

差の二乗：

$(-5)^2 = 25$

$(-4)^2 = 16$

$1^2 = 1$

$7^2 = 49$

$1^2 = 1$

差の二乗の合計：$25 + 16 + 1 + 49 + 1 = 92$

分散：$\frac{92}{5} = 18.4$

問1の答え：

$\sum_{i=1}^{4} x_i^2 = 26$

$\sum_{i=1}^{4} (x_i - 1) = 0$

問2の答え：

平均：8

分散：18.4