赤球4個、白球2個の計6個の球が入っている袋から、取り出し方Xと取り出し方Yでそれぞれ2個の球を取り出す。取り出し方Xは1個取り出して色を確認後、袋に戻す操作を2回繰り返す。取り出し方Yは同時に2個を取り出す。取り出し方Xで取り出された赤球の個数をX、取り出し方Yで取り出された赤球の個数をYとする。 (1) Xの確率分布、期待値$E(X)$を求める。 (2) Yの期待値$E(Y)$を求める。 (3) Xの分散$V(X)$を求める。 (4) Yの分散$V(Y)$を求める。 (5) Z=X+Yとしたときの$E(Z)$を求める。 (6) $V(Z)$を求める。

1. 問題の内容

赤球4個、白球2個の計6個の球が入っている袋から、取り出し方Xと取り出し方Yでそれぞれ2個の球を取り出す。取り出し方Xは1個取り出して色を確認後、袋に戻す操作を2回繰り返す。取り出し方Yは同時に2個を取り出す。取り出し方Xで取り出された赤球の個数をX、取り出し方Yで取り出された赤球の個数をYとする。

(1) Xの確率分布、期待値$E(X)$を求める。

(2) Yの期待値$E(Y)$を求める。

(3) Xの分散$V(X)$を求める。

(4) Yの分散$V(Y)$を求める。

(5) Z=X+Yとしたときの$E(Z)$を求める。

(6) $V(Z)$を求める。

2. 解き方の手順

(1) Xの確率分布を求める。Xは2回の独立な試行で赤球を取り出す回数である。

1回の試行で赤球を取り出す確率は$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$である。

$P(X=0)=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$

$P(X=1)=2\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$

$P(X=2)=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$

よって確率分布は

$X=0$のとき$P=\frac{1}{9}$

$X=1$のとき$P=\frac{4}{9}$

$X=2$のとき$P=\frac{4}{9}$

期待値$E(X) = 0 \times \frac{1}{9} + 1 \times \frac{4}{9} + 2 \times \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

(2) Yの期待値を求める。Yは2個同時に取り出した赤球の個数である。

$P(Y=0)=\frac{{}^2C_2}{{}^6C_2} = \frac{1}{15}$

$P(Y=1)=\frac{{}^4C_1 \times {}^2C_1}{{}^6C_2} = \frac{8}{15}$

$P(Y=2)=\frac{{}^4C_2}{{}^6C_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

期待値$E(Y) = 0 \times \frac{1}{15} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{6}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$

(3) Xの分散を求める。

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{9} + 1^2 \times \frac{4}{9} + 2^2 \times \frac{4}{9} = \frac{20}{9}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{20}{9} - (\frac{4}{3})^2 = \frac{20}{9} - \frac{16}{9} = \frac{4}{9}$

(4) Yの分散を求める。

$E(Y^2) = 0^2 \times \frac{1}{15} + 1^2 \times \frac{8}{15} + 2^2 \times \frac{6}{15} = \frac{32}{15}$

$V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = \frac{32}{15} - (\frac{4}{3})^2 = \frac{32}{15} - \frac{16}{9} = \frac{96 - 80}{45} = \frac{16}{45}$

(5) Zの期待値を求める。

$E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

(6) Zの分散を求める。

$V(Z)=V(X+Y)$

XとYが独立なので、$V(X+Y) = V(X) + V(Y) = \frac{4}{9} + \frac{16}{45} = \frac{20+16}{45} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 9

ウ: 4

エ: 4

オ: 4

カ: 3

キ: 4

ク: 3

ケ: 4

コ: 9

サシ: 16

スセ: 45

ソ: 8

タ: 3

チ: E(X)+E(Y)

テ: V(X)+V(Y)

ト: 36

ナ: 45