異なる6冊の本を、指定された冊数の組に分ける分け方の総数を求める問題です。具体的には以下の4つの場合に分けて考えます。 (1) 3冊、2冊、1冊の3組 (2) 3冊、3冊の2組 (3) 2冊、2冊、2冊の3組 (4) 4冊、1冊、1冊の3組

1. 問題の内容

異なる6冊の本を、指定された冊数の組に分ける分け方の総数を求める問題です。具体的には以下の4つの場合に分けて考えます。

(1) 3冊、2冊、1冊の3組

(2) 3冊、3冊の2組

(3) 2冊、2冊、2冊の3組

(4) 4冊、1冊、1冊の3組

2. 解き方の手順

(1) 3冊、2冊、1冊の3組の場合

6冊から3冊を選ぶ方法は ${}_6C_3$ 通り。残りの3冊から2冊を選ぶ方法は ${}_3C_2$ 通り。最後に残った1冊を選ぶ方法は ${}_1C_1$ 通り。

したがって、分け方の総数は、

${}_6C_3 \times {}_3C_2 \times {}_1C_1 = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{2!1!} \times \frac{1!}{1!0!} = 20 \times 3 \times 1 = 60$ 通り。

(2) 3冊、3冊の2組の場合

6冊から3冊を選ぶ方法は ${}_6C_3$ 通り。残りの3冊から3冊を選ぶ方法は ${}_3C_3$ 通り。

しかし、この場合、3冊の組が区別されないため、2!で割る必要があります。

したがって、分け方の総数は、

$\frac{{}_6C_3 \times {}_3C_3}{2!} = \frac{\frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{2} = \frac{20 \times 1}{2} = 10$ 通り。

(3) 2冊、2冊、2冊の3組の場合

6冊から2冊を選ぶ方法は ${}_6C_2$ 通り。残りの4冊から2冊を選ぶ方法は ${}_4C_2$ 通り。最後に残った2冊を選ぶ方法は ${}_2C_2$ 通り。

この場合、2冊の組が区別されないため、3!で割る必要があります。

したがって、分け方の総数は、

$\frac{{}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{3!} = \frac{\frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{6} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = 15$ 通り。

(4) 4冊、1冊、1冊の3組の場合

6冊から4冊を選ぶ方法は ${}_6C_4$ 通り。残りの2冊から1冊を選ぶ方法は ${}_2C_1$ 通り。最後に残った1冊を選ぶ方法は ${}_1C_1$ 通り。

この場合、1冊の組が区別されないため、2!で割る必要があります。

したがって、分け方の総数は、

$\frac{{}_6C_4 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1}{2!} = \frac{\frac{6!}{4!2!} \times \frac{2!}{1!1!} \times \frac{1!}{1!0!}}{2} = \frac{15 \times 2 \times 1}{2} = 15$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 10通り

(3) 15通り

(4) 15通り