男子4人と女子4人が1列に並ぶときの並び方について、以下の4つの条件を満たす場合の数をそれぞれ求める問題です。 (1) 両端が男子である場合 (2) 両端の少なくとも一方が女子である場合 (3) 男子と女子が交互に並ぶ場合 (4) どの男子も隣り合わない場合

1. 問題の内容

男子4人と女子4人が1列に並ぶときの並び方について、以下の4つの条件を満たす場合の数をそれぞれ求める問題です。

(1) 両端が男子である場合

(2) 両端の少なくとも一方が女子である場合

(3) 男子と女子が交互に並ぶ場合

(4) どの男子も隣り合わない場合

2. 解き方の手順

(1) 両端が男子の場合

* 両端の男子の選び方: $4 \times 3 = 12$通り

* 残りの6人の並び方: $6! = 720$通り

* よって、並び方の総数: $12 \times 720 = 8640$通り

(2) 両端の少なくとも一方が女子の場合

* 全体の並び方: $8! = 40320$通り

* 両端が男子である並び方 (1)より): $8640$通り

* 両端の少なくとも一方が女子である並び方: 全体 - 両端が男子 = $40320 - 8640 = 31680$通り

(3) 男子と女子が交互に並ぶ場合

* 男子女子男子女子男子女子男子女子 (男から始まる) または 女子男子女子男子女子男子女子男子 (女から始まる) の2パターンがあります。

* 男から始まる場合の並び方: $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$通り

* 女から始まる場合の並び方: $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$通り

* よって、並び方の総数: $576 + 576 = 1152$通り

(4) どの男子も隣り合わない場合

* まず、女子4人を並べます。並び方は $4! = 24$ 通り。

* 女子の間の3箇所と両端の計5箇所に男子4人を並べる必要があります。これは $_{5}P_{4} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$通り。

* よって、並び方の総数: $24 \times 120 = 2880$通り

3. 最終的な答え

(1) 8640通り

(2) 31680通り

(3) 1152通り

(4) 2880通り