右の図のような道がある町で、A地点からB地点まで最短距離で行く経路について、以下の3つの条件を満たす場合の数を求める問題です。 (1) P地点を通る場合 (2) P地点を通るが、Q地点を通らない場合 (3) R地点を通らない場合

確率論・統計学組み合わせ最短経路順列
2025/5/27

1. 問題の内容

右の図のような道がある町で、A地点からB地点まで最短距離で行く経路について、以下の3つの条件を満たす場合の数を求める問題です。
(1) P地点を通る場合
(2) P地点を通るが、Q地点を通らない場合
(3) R地点を通らない場合

2. 解き方の手順

(1) P地点を通る場合
AからPまでの最短経路の数と、PからBまでの最短経路の数をそれぞれ計算し、掛け合わせます。
AからPまでの経路は、右に1回、上に2回進むので、(1+2)!/1!2!=3!/(1!2!)=3{(1+2)!} / {1!2!} = 3! / (1! * 2!) = 3通り。
PからBまでの経路は、右に3回、上に1回進むので、(3+1)!/3!1!=4!/(3!1!)=4{(3+1)!} / {3!1!} = 4! / (3! * 1!) = 4通り。
よって、P地点を通る経路は、34=123 * 4 = 12通り。
(2) P地点を通るが、Q地点を通らない場合
P地点を通る経路の総数から、P地点とQ地点の両方を通る経路の数を引きます。
P地点を通る経路は12通り((1)より)。
PからQを通る経路は、右に2回、上に1回なので、(2+1)!/2!1!=3!/(2!1!)=3{(2+1)!} / {2!1!} = 3! / (2! * 1!) = 3通り。
QからBまでの経路は、右に1回、上に0回なので、(1+0)!/1!0!=1!/(1!0!)=1{(1+0)!} / {1!0!} = 1! / (1! * 0!) = 1通り。
したがって、PとQの両方を通る経路は、331=93 * 3 * 1 = 9通り
P地点を通るがQ地点を通らない経路は、123=912 - 3 = 9通りとなります。
(3) R地点を通らない場合
AからBまでのすべての経路の数から、R地点を通る経路の数を引きます。
AからBまでのすべての経路は、右に4回、上に3回進むので、(4+3)!/4!3!=7!/(4!3!)=(765)/(321)=35{(4+3)!} / {4!3!} = 7! / (4! * 3!) = (7*6*5) / (3*2*1) = 35通り。
AからRまでの経路は、右に1回、上に3回進むので、(1+3)!/1!3!=4!/(1!3!)=4{(1+3)!} / {1!3!} = 4! / (1! * 3!) = 4通り。
RからBまでの経路は、右に3回、上に0回進むので、(3+0)!/3!0!=3!/(3!0!)=1{(3+0)!} / {3!0!} = 3! / (3! * 0!) = 1通り。
したがって、R地点を通る経路は、41=44 * 1 = 4通り。
R地点を通らない経路は、354=3135 - 4 = 31通り。

3. 最終的な答え

(1) 12
(2) 9
(3) 31

「確率論・統計学」の関連問題

ある大学の入学者のうち、a大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。 $n(A) = 65, n(B) = 40, n(A \cap B) = 14, n(C \cap...

集合包除原理場合の数
2025/5/28

大小2個のサイコロを投げるとき、出た目の和が2または8になる場合の数を求める問題です。

確率サイコロ場合の数
2025/5/28

AからDまでの4種類のカードがそれぞれ1枚ずつあるとき、この中から2枚を選ぶ組み合わせの総数を求める問題です。

組み合わせ確率場合の数順列
2025/5/28

与えられた標本データ ${70, 35, 63, 48, 80}$ について、以下の値を計算します。 (1) $\sum_{i=1}^{5} x_i$ (2) (a) $\sum_{i=1}^...

統計標本合計分散
2025/5/28

9人の生徒の中から5人を選ぶ組み合わせの総数を求める問題です。

組み合わせ組み合わせの公式場合の数
2025/5/28

原点にある点Pが、サイコロを投げるごとに以下の規則で移動する。 - 1または2の目が出たとき、x軸方向に+1移動 - 3または4の目が出たとき、y軸方向に+1移動 - 5の目が出たとき、x軸方向に+1...

確率サイコロ確率分布組み合わせ
2025/5/28

ある企業が販売する4つの商品(P, Q, R, S)の売り上げ構成比が月ごとに示されている表がある。この表から、9月のQの売り上げの比率を読み取る問題である。

比率データ分析割合
2025/5/28

袋の中に赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入っている。この袋から4つの玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求める。 (1) 取り出した4つの玉の中に白玉が入っていない確率 (2) 取り出した4つの玉の中に...

確率組み合わせ余事象
2025/5/28

男子5人(A, B, C, D, E)と女子3人(F, G, H)の計8人が円形のテーブルに着席する。 (1) 女子の両隣には必ず男子が座るような座り方は何通りあるか。 (2) FとGの間に男子1人が...

順列円順列組み合わせ
2025/5/28

野球チームA, Bの過去15年間の対戦結果から、AとBの間に力の差があるかを、有意水準5%で検定する問題です。 (1)では、2009年から2018年までの100試合の結果を用いて、二項分布に従う確率変...

仮説検定二項分布期待値標準偏差統計
2025/5/28