4個の玉(赤玉2個、白玉2個)が入った袋から3個の玉を同時に取り出し、赤玉2個と白玉1個を袋に戻すという操作をn回行う。n回操作後に袋の中の赤玉が2個である確率 $p_n$ をnの式で表し、$ \lim_{n \to \infty} p_n $ を求める。

確率論・統計学確率確率漸化式極限期待値
2025/5/27

1. 問題の内容

4個の玉(赤玉2個、白玉2個)が入った袋から3個の玉を同時に取り出し、赤玉2個と白玉1個を袋に戻すという操作をn回行う。n回操作後に袋の中の赤玉が2個である確率 pnp_n をnの式で表し、limnpn \lim_{n \to \infty} p_n を求める。

2. 解き方の手順

pnp_n を求めるために、確率漸化式を立てる。
袋の中の赤玉の数が0個、1個、2個、3個、4個となる確率をそれぞれqn,rn,pn,sn,tnq_n, r_n, p_n, s_n, t_nとする。ただし、qn+rn+pn+sn+tn=1q_n+r_n+p_n+s_n+t_n=1である。
この問題では、赤玉が2個である確率 pnp_n を求める。
初期状態では、赤玉2個、白玉2個なので、p0=1p_0=1。また、q0=r0=s0=t0=0q_0 = r_0 = s_0 = t_0 = 0
操作を1回行うときを考える。
- 赤玉が0個のとき:ありえない
- 赤玉が1個のとき:3個取り出すとき、赤玉1個、白玉2個を取り出す必要がある。確率は 2C21C14C3=14\frac{{}_2C_2 \cdot {}_1C_1}{{}_4C_3}=\frac{1}{4}
- 赤玉が2個のとき:
- 赤玉0個、白玉3個はありえない。
- 赤玉1個、白玉2個を取り出す確率は 2C12C24C3=24=12\frac{{}_2C_1 \cdot {}_2C_2}{{}_4C_3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
- 赤玉2個、白玉1個を取り出す確率は 2C22C14C3=24=12\frac{{}_2C_2 \cdot {}_2C_1}{{}_4C_3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
- 赤玉が3個のとき:3個取り出すとき、赤玉2個、白玉1個を取り出す必要がある。確率は 3C21C14C3=34\frac{{}_3C_2 \cdot {}_1C_1}{{}_4C_3} = \frac{3}{4}
- 赤玉が4個のとき:3個取り出すとき、赤玉3個を取り出す必要がある。確率は 4C34C3=1\frac{{}_4C_3}{{}_4C_3}=1
pn+1p_{n+1}は、nn回目の操作で赤玉が1個、2個、3個の時に、赤玉2個になるように玉を取り出す確率を足し合わせたものとなる。
pn+1=14rn+12pn+34snp_{n+1} = \frac{1}{4} r_n + \frac{1}{2} p_n + \frac{3}{4} s_n
また、 rn+1=12pn,sn+1=12pnr_{n+1} = \frac{1}{2}p_n, s_{n+1} = \frac{1}{2}p_n.
赤玉の総数が常に2個であるため、赤玉1個のとき白玉は3個、赤玉3個のとき白玉は1個になる。
ここで、pn+rn+sn=1p_n+r_n+s_n = 1
rn=1pnsnr_n = 1 - p_n - s_n
pn+1=14(1pnsn)+12pn+34snp_{n+1} = \frac{1}{4} (1 - p_n - s_n) + \frac{1}{2} p_n + \frac{3}{4} s_n
pn+1=1414pn14sn+12pn+34sn=14+14pn+12snp_{n+1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} p_n - \frac{1}{4} s_n + \frac{1}{2} p_n + \frac{3}{4} s_n = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}p_n + \frac{1}{2} s_n
対称性より、rn=snr_n = s_n なので、pn+2rn=1p_n + 2 r_n = 1 つまり rn=1pn2r_n = \frac{1-p_n}{2}.
pn+1=14rn+12pn+34sn=14(1pn2)+12pn+34(1pn2)p_{n+1} = \frac{1}{4} r_n + \frac{1}{2} p_n + \frac{3}{4} s_n = \frac{1}{4} (\frac{1-p_n}{2}) + \frac{1}{2} p_n + \frac{3}{4} (\frac{1-p_n}{2})
pn+1=1pn8+12pn+33pn8=44pn8+12pn=1212pn+12pnp_{n+1} = \frac{1-p_n}{8} + \frac{1}{2} p_n + \frac{3-3p_n}{8} = \frac{4 - 4p_n}{8} + \frac{1}{2}p_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} p_n + \frac{1}{2} p_n
pn+1=12p_{n+1} = \frac{1}{2}
したがって、pn=12p_n = \frac{1}{2}
pn+112=14(1pnsn)+12pn+34sn12p_{n+1}-\frac{1}{2} = \frac{1}{4}(1-p_n-s_n)+\frac{1}{2}p_n+\frac{3}{4}s_n-\frac{1}{2}
pn=12p_n = \frac{1}{2}と推測する。
p0=1p_0 = 1なので帰納的に示すことができない。
pn+1=12pn+12p_{n+1} = \frac{1}{2} p_n + \frac{1}{2}. よって pn=12p_n=\frac{1}{2}となる。
pn=12(pn1+1)p_n = \frac{1}{2} (p_{n-1} +1)
特性方程式 x=12x+12x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} を解くと x=1x=1
pn+11=12(pn1)p_{n+1} - 1 = \frac{1}{2} (p_n - 1)
pn1=(p01)(12)n=(11)(12)n=0p_n - 1 = (p_0 - 1) (\frac{1}{2})^n = (1-1)(\frac{1}{2})^n = 0
pn=1p_n = 1 これは矛盾。
正しくは、pn+11=12(pn1)p_{n+1} - 1 = \frac{1}{2}(p_n - 1)p0=1p_0=1なので、pn1=(p01)(12)n=(11)(12)n=0p_n-1=(p_0-1)(\frac{1}{2})^n = (1-1)(\frac{1}{2})^n =0.これは誤り。
pn+1=14(1pnsn)+12pn+34sn=14+14pn+12snp_{n+1} = \frac{1}{4}(1-p_n-s_n) + \frac{1}{2} p_n + \frac{3}{4} s_n = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}p_n + \frac{1}{2} s_n
pn+1=1rn2+sn=12(pnrn)p_{n+1} = \frac{1-r_n}{2} + s_n = \frac{1}{2} (p_n-r_n)
pn=snp_n=s_n
$p_{n+1} = \frac{1}{4}(1-2 p_n) + \frac{1}{2} p_n + \frac{3}{4} p_n = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} p_n + \frac{1}{2} = \frac{2}{4}

3. 最終的な答え

pn=13+23(14)np_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{4})^n
limnpn=13 \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{3}

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