五角形ABCDEが円に内接しており、$\overline{AB} = \overline{CD}$, $\angle BAC = 40^{\circ}$, $\angle ACB = 38^{\circ}$ のとき、$\angle AED$ の大きさを求める。

幾何学円周角内接五角形角度
2025/5/25

1. 問題の内容

五角形ABCDEが円に内接しており、AB=CD\overline{AB} = \overline{CD}, BAC=40\angle BAC = 40^{\circ}, ACB=38\angle ACB = 38^{\circ} のとき、AED\angle AED の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、ABC\triangle ABC において、ABC\angle ABC を求める。三角形の内角の和は 180180^{\circ} なので、
ABC=180BACACB=1804038=102\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACB = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 38^{\circ} = 102^{\circ}
次に、円周角の定理より、BAC\angle BAC は弧BCに対する円周角なので、BAC=40\angle BAC = 40^{\circ} より弧BCに対する中心角は 2×40=802 \times 40^{\circ} = 80^{\circ} となる。
また、ACB\angle ACB は弧ABに対する円周角なので、ACB=38\angle ACB = 38^{\circ} より弧ABに対する中心角は 2×38=762 \times 38^{\circ} = 76^{\circ} となる。
AB=CD\overline{AB} = \overline{CD} より、弧AB = 弧CDであるから、弧CDに対する円周角であるDAC\angle DACACB\angle ACB と同じで 3838^{\circ} である。
四角形ABCEは円に内接しているので、AEC=180ABC=180102=78\angle AEC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ}
AED=AEC+CED\angle AED = \angle AEC + \angle CED であり、CED\angle CED は弧CDに対する円周角なので、CED=BAC=40\angle CED = \angle BAC = 40^{\circ} である。
したがって、AED=AEC+CED=78+40=118\angle AED = \angle AEC + \angle CED = 78^{\circ} + 40^{\circ} = 118^{\circ}

3. 最終的な答え

118°

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