3世帯の世帯サイズと年収が与えられており、これらの相関係数 $r_{xy}$ を求める問題です。相関係数の公式が示されており、その公式に与えられた数値を代入して、空欄（ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、ク、ケ）を埋める必要があります。

1. 問題の内容

3世帯の世帯サイズと年収が与えられており、これらの相関係数 $r_{xy}$ を求める問題です。相関係数の公式が示されており、その公式に与えられた数値を代入して、空欄（ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、ク、ケ）を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータから各変数の平均を計算します。

世帯サイズの平均$\bar{x}$は3、年収の平均$\bar{y}$は500です。

したがって、イ=3、ウ=500となります。

次に、相関係数の公式を見て、アを決定します。

相関係数の公式は、

$r_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$

で与えられています。ここで、$n$はデータの数であり、この場合は3です。したがって、ア=3となります。

次に、分母の$\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$、$\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}$について考えます。

$\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} = \sqrt{ (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$

$\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2} = \sqrt{(300-500)^2 + (700-500)^2 + (500-500)^2} = \sqrt{(-200)^2+(200)^2+0} = \sqrt{40000+40000} = \sqrt{80000} = 200\sqrt{2}$

また、$\bar{x}$の標準偏差が0.82と与えられているので、

$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} = 0.82$

$\sqrt{\frac{2}{2}} = 1 \neq 0.82$

$\bar{y}$の標準偏差が163.3と与えられているので、

$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}{n-1}} = 163.3$

$\sqrt{\frac{80000}{2}} = 200 \neq 163.3$

問題文にある式を見てみると、

$r_{xy} = \frac{1}{0.82 \times (エ)} \times \frac{1}{3} \{ (オ-3)(300-500) + (3-3)(カ-500) + (キ-3)(ク-500) \}$

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (2-3)(300-500) + (3-3)(700-500) + (4-3)(500-500) = (-1)(-200) + 0 + (1)(0) = 200$

$r_{xy} = \frac{200}{\sqrt{2} \times \sqrt{80000}} = \frac{200}{\sqrt{160000}} = \frac{200}{400} = 0.5$

$0.5 = \frac{1}{0.82 \times (エ)} \times \frac{1}{3} \{ (2-3)(300-500) + (3-3)(700-500) + (4-3)(500-500) \}$

$0.5 = \frac{1}{0.82 \times (エ)} \times \frac{1}{3} \{ (-1)(-200) + (0)(200) + (1)(0) \}$

$0.5 = \frac{1}{0.82 \times (エ)} \times \frac{200}{3}$

$0.82 \times (エ) = \frac{200}{3 \times 0.5} = \frac{400}{3} = 133.333...$

$(エ) = \frac{400}{3 \times 0.82} = \frac{400}{2.46} \approx 162.6$

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = (2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2 = 1+0+1 = 2$

$\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = (300-500)^2+(700-500)^2+(500-500)^2 = 40000+40000+0 = 80000$

したがって、$0.82\sqrt{3-1}=0.82\sqrt{2} \approx 1.159$

$163.3\sqrt{3-1}=163.3\sqrt{2} \approx 230.9$

$\frac{1}{0.82 \times \sqrt{3}} * \frac{1}{163.3 \times \sqrt{3}}$

$1/3$

$0.5 = \frac{1}{\sqrt{\sum (x-\bar{x})^2}} \times \frac{1}{\sqrt{\sum (y-\bar{y})^2}} \sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})$

$r = \frac{200}{0.82*163.3}* =0.95\sqrt{n-1}=0.82 * 1 *163.3 =133.806$

$\frac{200}{1.16*230.9} * 3= 230.85/1=230

よって、$r = 0.5$

エに該当するのは3

ケは0.5

3. 最終的な答え

ア=3

イ=3

ウ=500

エ=1

オ=2

カ=700

キ=4

ク=500

ケ=0.5