一辺の長さが10cmの正方形ABCDがある。点PはAを毎秒1cmで出発し辺AB上を進み、点Qは点Pと同時にBを毎秒2cmで出発し辺BC上を進む。QがCに達するまでに、PとQの距離が最小となるのは出発してから何秒後か、またその最小距離を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが10cmの正方形ABCDがある。点PはAを毎秒1cmで出発し辺AB上を進み、点Qは点Pと同時にBを毎秒2cmで出発し辺BC上を進む。QがCに達するまでに、PとQの距離が最小となるのは出発してから何秒後か、またその最小距離を求めよ。

2. 解き方の手順

出発してからの時間を $t$ 秒とする。

* $t$ 秒後の点Pの位置は、Aから $t$ cm進んだところにある。したがって、BPの長さは $10-t$ cmとなる。

* $t$ 秒後の点Qの位置は、Bから $2t$ cm進んだところにある。ただし、QがCに到達するのは $10/2 = 5$ 秒後なので、 $0 \le t \le 5$ である。

* PとQの距離を $d$ とすると、三平方の定理より、

$d^2 = (10-t)^2 + (2t)^2 = 100 - 20t + t^2 + 4t^2 = 5t^2 - 20t + 100$

$d^2$が最小になるのは、$d$が最小になるときなので、$5t^2 - 20t + 100$ が最小になる $t$ を求める。

$5t^2 - 20t + 100$ を平方完成する。

$5t^2 - 20t + 100 = 5(t^2 - 4t) + 100 = 5(t^2 - 4t + 4 - 4) + 100 = 5(t-2)^2 - 20 + 100 = 5(t-2)^2 + 80$

$5(t-2)^2 + 80$ は $t=2$ のとき最小値80を取る。

したがって、 $d^2$ の最小値は80であり、 $d$ の最小値は $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ である。

$0 \le t \le 5$ を満たすので、$t=2$ は適する。

3. 最終的な答え

出発してから2秒後。最小距離は $4\sqrt{5}$ cm。