二つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 25$ と $C_2: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 2$ が与えられている。 (1) $C_1$ と $C_2$ の交点を通る直線の方程式を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ の交点を通る円で、点 (3, 1) を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

二つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 25$ と $C_2: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 2$ が与えられている。

(1) $C_1$ と $C_2$ の交点を通る直線の方程式を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ の交点を通る円で、点 (3, 1) を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円 $C_1$ と $C_2$ の交点を通る直線の方程式は、$C_1 - C_2 = 0$ で与えられる。

$C_2$ の式を展開すると、

$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 2$

$x^2 + y^2 - 8x - 6y + 23 = 0$

したがって、$C_1 - C_2 = (x^2 + y^2 - 25) - (x^2 + y^2 - 8x - 6y + 23) = 0$

$-25 + 8x + 6y - 23 = 0$

$8x + 6y - 48 = 0$

$4x + 3y - 24 = 0$

(2) 2つの円 $C_1$ と $C_2$ の交点を通る円の方程式は、$C_1 + kC_2 = 0$ (kは実数) で与えられる。

$x^2 + y^2 - 25 + k(x^2 + y^2 - 8x - 6y + 23) = 0$

この円が点 (3, 1) を通るので、x=3, y=1 を代入する。

$3^2 + 1^2 - 25 + k(3^2 + 1^2 - 8(3) - 6(1) + 23) = 0$

$9 + 1 - 25 + k(9 + 1 - 24 - 6 + 23) = 0$

$-15 + k(3) = 0$

$3k = 15$

$k = 5$

したがって、求める円の方程式は

$x^2 + y^2 - 25 + 5(x^2 + y^2 - 8x - 6y + 23) = 0$

$x^2 + y^2 - 25 + 5x^2 + 5y^2 - 40x - 30y + 115 = 0$

$6x^2 + 6y^2 - 40x - 30y + 90 = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 20x - 15y + 45 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $4x + 3y - 24 = 0$

(2) $3x^2 + 3y^2 - 20x - 15y + 45 = 0$